Kezdőlap


Feladat:	3066. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kormos Márton , Sarlós Ferenc
Füzet:	1997/november, 506. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb hidrosztatikai nyomás, Ideális gáz állapotegyenlete, Ideális gáz belső energiája (Állapotegyenletek), Gázok egyéb állapotváltozása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/április: 3066. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a dugattyú súrlódásmentesen mozoghat, továbbá azt, hogy a folyamat végig egyensúlyi állapotokon keresztül megy végbe.
Ha a dugattyú elmozdulása $x$ és $0 \geq x \geq \frac{l}{2},$ akkor a $h$ higanyszint magasabb ugyan az eredetinél, de még semennyi higany nem folyt ki a tartályból. A higany térfogatának állandóságából

\begin{matrix} (l - x) a h = l \frac{a}{2} a, vagyis h = \frac{l}{l - x} \frac{a}{2} . \end{matrix}

A folyadék által kifejtett nyomás (a higany ,,hidrosztatikai'' nyomása) a felszíntől mért távolsággal egyenesen arányos, emiatt számolhatunk átlagos nyomással:

p_{átlag} = ϱ g h / 2

. A higany az

A = a^{2}

keresztmetszetű dugattyú

a h

területű részére

\begin{matrix} F = p_{átlag} a h = ϱ g {(\frac{l}{l - x})}^{2} \frac{a^{3}}{8} \end{matrix}

erőt fejt ki. Ha ehhez az erőhöz hozzáadjuk a

p_{0}

külső légnyomásból származó

p_{0} a^{2}

erőt, majd elosztjuk a dugattyú teljes

A

keresztmetszetével, megkapjuk a hélium

p

nyomását. Ezt a mennyiséget célszerű a gáz

V = a^{2} (l + x)

térfogatával kifejezni:

\begin{matrix} p (V) = ϱ g \frac{a}{8} {(\frac{l}{2 l - V / a^{2}})}^{2} + p_{0} . \end{matrix}

A két szélső helyzetben a térfogatok és nyomások (

p_{0} = 10^{5} Pa

-lal számolva:

V_{1} = 0, 02 m^{3}

és

p_{1} = 103 400 Pa

, illetve

V_{2} = 0, 03 m^{3}

és

p_{2} = 113 600 Pa

.
A folyamat második részében, amikor

\frac{l}{2} < x < l,

a higany lassan kifolyik a tartályból. Mivel a folyadékszint magassága nem változik, a dugattyúra kifejtett nyomás állandó, a hélium tehát izobár módon tágul. A folyamat végén, amikor már szinte az összes higany kifolyt, a nyomás

p_{3} = p_{2} = 113 600 Pa

, a gáz térfogata pedig

V_{3} = 0, 04 m^{3}

.
Írjuk fel az egyesített gáztörvényt a hélium kezdeti és végső állapotára:

\begin{matrix} \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{3} V_{3}}{T_{3}}, ahonnan T_{3} = T_{1} \frac{p_{3}}{p_{1}} \frac{V_{3}}{V_{1}} = 659 K = 386^{\circ} C . \end{matrix}

A gáz belső energiájának megváltozása a folyamat során

\begin{matrix} Δ E = E_{3} - E_{1} = \frac{3}{2} p_{3} V_{3} - \frac{3}{2} p_{1} V_{1} = 3714 J . \end{matrix}

A hélium által végzett mechanikai munka két tag összegeként számítható ki. A higany tömegközéppontja

\frac{3}{4} a

magassággal megemelkedett, ehhez

W_{1} = ϱ g l a (a / 2) \cdot \frac{3}{4} a = 204 J

munkavégzés szükséges. Másrészt a külső légnyomással szemben is kell munkát végezni (a légkört egy kicsit ,,felemeljük''), ennek

W_{2} = p_{0} a^{2} l = 2000 J

felel meg. A hőtan első főtétele szerint a héliummmal közlendő hő:

Q = Δ E + W_{1} + W_{2} = 5918 J

Sarlós Ferenc (Baja, III. Béla Gimn., III. o.t.)