Feladat:	3054. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Borsos Júlia ,  Wagner Róbert
Füzet:	1997/november, 502. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Munkatétel, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: 3054. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A munkatétel alapján meghatározhatjuk a test $v$ sebességét a pálya legalsó pontjában: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg2R=\frac{1}{2}m{v}^2\mathrm{,}\text{ahonnan}v=\sqrt[]{4gR}\mathrm{,}}\end{array}$ ($R$ a gördülő karika sugara). Másrészt Newton második törvénye szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle N-mg=m\frac{v^2}{r_{\text{g}}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $r_{\text{g}}$ a ciklois görbületi sugara a legalsó pontjában, $N$ pedig a keresett nyomóerő. A fenti 2 egyenletből $N$-et könnyen ki tudnánk fejezni, ha ismernénk $r_{\text{g}}$ értékét. Gördítsük ‐ képzeletben ‐ a cikloist geometriailag megadó karikát úgy, hogy a középpontja egyenletesen, $v/2$ sebességgel haladjon. Amikor a karika $A$ pontja a legalsó helyzetbe kerül, sebessége $v$, a gyorsulása pedig $v^2/r_{\text{g}}$ lesz. Ugyanezt a gyorsulást azonban az egyenletes körmozgás ismert képletéből is kiszámíthatjuk: $a={\left(v/2\right)}^2/R\mathrm{.}$ (A karika középpontjának egyenletes mozgása nem változtatja meg a tiszta körmozgás centripetális gyorsulását.) A kétféleképpen kiszámított gyorsulás összehasonlításából $r_{\text{g}}=4R$ és $N=2mg$ adódik. A lecsúszó test tehát az álló helyzetben mérlegen mérhető súlyának kétszeresével nyomja a vájatot a pályájának legmélyebb pontjában.  Wagner Róbert (Pannonhalma, Bencés Gimn., IV. o.t.)   II. megoldás. A pályagörbe görbületi sugarát a legalsó pontban az ábrán látható szerkesztésből is leolvashatjuk. Amíg a karika $OA$ sugara a legalsó ponthoz tartozó függőleges helyzetéből kicsiny $\Delta \phi$ szöggel elfordul, a középpontja $R\Delta \phi$ elmozdulással $O$-ból $O\text{'}$-be kerül. Az $A$ pont eközben az $A\text{'}$ helyre kerül, ami ‐ kicsiny elfordulás esetén ‐ jó közelítéssel egybeesik az $A$-tól $2R\Delta \phi$ távolságra levő $A\text{'}\text{'}$ ponttal.     A karika $A\text{'}$ pontbeli sebességének nem lehet $A\text{'}F\text{'}$ irányú komponense, hiszen az $F\text{'}$ pont sebessége nulla. Eszerint az kérdéses pont sebessége merőleges az $A\text{'}F\text{'}$ egyenesre, a pályagörbe $C$ görbületi középpontja tehát rajta fekszik $A\text{'}F\text{'}$ meghosszabításán. Az $AA\text{'}\text{'}C$ és $FF\text{'}C$ háromszögek hasonlóságát, továbbá $AA\text{'}\text{'}=2R\Delta \phi$ összefüggést felhasználva a görbületi sugárra $r_{\text{g}}=AC=4R$, a nyomóerőre pedig (a Newton-egyenletből és a munkatételből) $N=2mg$ adódik.  Borsos Júlia (Győr, Révai M. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján