Kezdőlap


Feladat:	3048. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Borsos Júlia , Kacsuk Zsófia , Zawadowski Ádám
Füzet:	1997/május, 315. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Bernoulli-törvény, Folyadékhozam, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: 3048. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a (mondjuk balról) becsapódó vízsugár sebességét $v$ -vel, keresztmetszetét $A$ -val, a jobbra, illetve balra kifolyó víz hasonló jellemzőit pedig $v_{j}$ és $A_{j}$ -vel, illetve $v_{b}$ és $A_{b}$ -vel! Egységnyi idő alatt (a megfelelő $v$ -vel és $A$ -val számolva) $v A$ térfogatú víz áramlik át a vízsugár keresztmetszetén. Feladatunk tehát a $(v_{b} A_{b}) / (v_{j} A_{j})$ arány és az $α$ beesési szög közötti kapcsolat meghatározása.

A vizsgált jelenség (a vízsugár becsapódása a csatornába, majd szétterülése és két részre válása) teljes általánosságában meglehetősen összetett, bonyolult folyamat, ezért néhány egyszerűsítő feltevéssel élünk. Feltételezzük, hogy az áramlás lamináris, örvények nem (vagy nem számottevő mértékben) keletkeznek. Elhanyagoljuk a víz belső súrlódását, továbbá feltételezzük, hogy az áramlás elég gyors ahhoz, hogy a helyzeti energia változása a mozgási energia mellett ne legyen számottevő. Ezen feltevések jogossága szigorúan nem igazolható, és nyilván beállíthatók olyan kísérleti körülmények, amikor ezek a feltételek nem is teljesülnek. Fennáll azonban az ellenkező eset is: elég gyors, de nem túlságosan gyors áramlásnál, illetve nem túl szűk folyadéksugárnál a leírt feltételek jó közelítésnek tekinthetők.
A

ϱ

sűrűségű víz áramlására érvényes az anyagmegmaradást kifejező kontinuitási egyenlet:

\begin{matrix} v A ϱ = v_{j} A_{j} ϱ + v_{b} A_{b} ϱ . \end{matrix}

(1)

Fennáll továbbá a csatornán egységnyi idő alatt átfolyó vízmennyiség vízszintes irányú impulzusának megmaradását kifejező

\begin{matrix} (v A ϱ) v sin α = (v_{j} A_{j} ϱ) v_{j} - (v_{b} A_{b} ϱ) v_{b} \end{matrix}

(2)

egyenlet is, hiszen a leírt feltételek (a súrlódás elhanyagolása) mellett a csatorna nem fejt ki vízszintes irányú erőt a folyadékra. Az átfolyó folyadék mozgási energiája sem változik meg (ha a helyzeti energia változását és a belső súrlódást nem vesszük figyelembe), így

\begin{matrix} \frac{1}{2} (v A ϱ) v^{2} = \frac{1}{2} (v_{j} A_{j} ϱ) v_{j}^{2} + \frac{1}{2} (v_{b} A_{b} ϱ) v_{b}^{2} . \end{matrix}

(3)

Az (1)‐(3) egyenletrendszer még nem elegendő a keresett vízhozam-arány meghatározására, még valamilyen további fizikai törvényt és fel kell használnunk. Ismeretes, hogy súrlódásmentes, lamináris folyadékáramlásnál érvényes a Bernoulli-egyenlet, amely szerint a

\begin{matrix} ϱ \frac{v^{2}}{2} + p + ϱ g h \end{matrix}

(4)

kifejezés értéke egy-egy áramvonal mentén állandó. Alkalmazzuk ezt a törvényt a becsapódó vízsugarat és a jobb (vagy a bal) oldalon kifolyó vízsugarat összekötő valamelyik áramvonalra! Tekintettel arra, hogy a helyzeti energia (a

ϱ g h

-t tag) megváltozását elhanyagoljuk, továbbá tudjuk, hogy a vízsugárban a nyomás (a becsapódási ponttól távol) a külső légnyomással kell megegyezzen, a Bernoulli-törvény a

\begin{matrix} v = v_{j}, illetve v = v_{b} \end{matrix}

(5)

összefüggésekre egyszerűsödik. A Bernoulli-törvény lényegében a mechanikai energia megmaradását fejezi ki, de nem csupán a folyadék egészére (mint a (3) egyenlet), hanem az egyes folyadékdarabkákra külön-külön. A Bernoulli-egyenlet szerint az a ‐ talán meglepő ‐ eredmény adódott, hogy a ferdén becsapódó vízsugár két szétváló ága küzül a visszafelé folyó és az előrefelé haladó egyforma sebességgel áramlik, s az energia- és impulzusmegmaradás nem a sebességek, hanem a vízsugarak keresztmetszetének megváltozásával teljesül.
Az (1)-(5) egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} \frac{v_{b} A_{b}}{v_{j} A_{j}} = \frac{A_{b}}{A_{j}} = \frac{1 - sin α}{1 + sin α} . \end{matrix}

(6)

α

=0, akkor nyilván két egyforma részre válik szét a vízsugár, az

α = 90^{\circ}

esetén pedig teljes egészében ,,előrefelé'' fog folyni, a közbenső esetekben pedig (6)-nak megfelelő arányban oszlik meg a becsapódó víz mennyisége.

Borsos Júlia (Győr, Révai M. Gimn., III. o.t.),

Kacsuk Zsófia (Budaörs, Illyés Gy. Gimn., IV. o.t.) és

Zawadowski Ádám (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A (6) formula alapján kiszámított arányszám jól egyezik a 182. mérési feladatban tapasztaltakkal (lásd a KöMaL 1997. évi 2. számának 124. oldalán közölt grafikont). Ez az egyezés arra utal, hogy a felhasznált közelítések a vizsgált kísérleti körülmények között megengedhetőek.
2. Több versenyző a 182. mérési feladat megoldására hivatkozva felhasználta azt az információt, hogy a víz kb. ugyanakkora sebességgel áramlik mindkét irányban. Megoldásuk ‐ ha nem vizsgálták meg, hogy mi az elméleti háttere ennek az állításnak ‐ kicsit hiányos, 4 pontot kapott.
3. A Bernoulli-törvény alkalmazása során vigyáznunk kell arra, hogy csak egy-egy áramvonal mentén állíthatjuk a (4) kifejezés változatlanságát. Gondoljunk például egy hosszú, zárt, vízzel töltött kémcsőre, melyet az egyik vége körül vízszintes síkban megforgatunk. A helyzeti energia mindenhol ugyanakkora, a folyadék sebessége a gyorsan mozgó végen nagyobb, mint a forgástengely közelében, a folyadék nyomása mégsem csökken le a kémcső külső végében, hanem éppen ezzel ellenkező módon változik: megnő! Bizonyos speciális esetekben (örvénymentes, másnéven cirkuláció-mentes áramlásoknál) a (4) kifejezés különböző áramvonalak mentén is ugyanazt az értéket veszi fel, ez azonban általában nem érvényes, s indokolatlan alkalmazása, mint láttuk, hibás következtetésekre vezethet!