Kezdőlap


Feladat:	3047. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fabó Márton , Hauth Gábor , Jegenyés Nikoletta , Kacsuk Zsófia , Kránicz Ákos , Mátrai Tamás , Sarlós Ferenc , Várkonyi Péter
Füzet:	1997/május, 314. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Határozatlansági (Heisenberg-) reláció, Dobozba zárt részecske, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: 3047. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az elektron fenéklap fölötti magassága $Δ x$ nagyságrendű, az impulzusának bizonytalansága pedig $Δ p$ . A Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint $Δ x \cdot Δ p > ℏ$ ( $ℏ$ a Planck-állandó $2 π$ -vel osztott értéke. A határozatlansági összefüggés jobb oldalára néha $ℏ / 2$ -t írnak. Ennek akkor van jelentősége, ha matematikailag precízen megadjuk, mit jelent $Δ p$ és $Δ x$ . Itt most csak nagyságrendi becslést keresünk, ezért az ilyen ‐ egységnyi nagyságrendű ‐ tényezőknek nincs jelentősége.)
Az elektron energiája a mozgási energia és a helyzeti energia összegeként kapható meg. A függőleges irányú mozgáshoz tartozó energia

\begin{matrix} E_{m} \approx \frac{{(Δ p)}^{2}}{2 m}, \end{matrix}

a gravitációs helyzeti energia pedig

\begin{matrix} E_{h} \approx m g (Δ x) . \end{matrix}

(Az elektron függőleges irányú átlagos

p

impulzusa nyilván nulla, emiatt

p^{2}

és

Δ p

megegyezik. A helyzeti energia számításánál írhattunk volna

m g (Δ x) / 2

-t is, de ez nagyságrendileg ugyanakkora, mint a fenti érték.) A vízszintes mozgáshoz tartozó energia sem a függőleges mozgás sebességétől, sem pedig

(Δ x)

-től nem függ, ezért a továbbiakban elhagyjuk.
Az elektron teljes energiája

\begin{matrix} E = E_{m} + E_{h} \approx \frac{{(Δ p)}^{2}}{2 m} + m g (Δ x) . \end{matrix}

Felhasználva a Heisenberg-relációt, ez így is írható:

\begin{matrix} E > \frac{{(Δ p)}^{2}}{2 m} + \frac{m g ℏ}{Δ p} . \end{matrix}

Δ p

nagy, akkor érthetően nagy lesz az elektron mozgási energiája. Ha viszont

Δ p

kicsi, akkor (a nagy helybizonytalanság miatt) a helyzeti energia válik naggyá, s hiába kicsi a mozgási energia, az összenergia ismét csak nagy lesz. A legkedvezőbb helyzetet, vagyis az összenergia legkisebb értékét differenciálszámítással vagy ‐ elemi úton ‐ a számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenség felhasználásával kaphatjuk meg:

\begin{matrix} E > 3 \cdot \frac{\frac{{(Δ p)}^{2}}{2 m} + \frac{m g ℏ}{2 (Δ p)} + \frac{m g ℏ}{2 (Δ p)}}{3} \geq \frac{3}{2} \sqrt[3]{m g^{2} ℏ^{2}} . \end{matrix}

Az egyenlőség akkor teljesül, amikor

\begin{matrix} \frac{{(Δ p)}^{2}}{2 m} = \frac{m g ℏ}{2 (Δ p)}, \end{matrix}

vagyis ha

\begin{matrix} Δ p = \sqrt[3]{m^{2} g ℏ} és Δ x \approx \sqrt[3]{\frac{ℏ^{2}}{m^{2} g}} \approx 1 mm . \end{matrix}

Várkonyi Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1.

Δ x

itt kiszámított nagysága az atomfizikában szokásos távolságokhoz képest nagyon nagy, makroszkopikus érték. Az atomokban az elektronok helybizonytalansága sokkal kisebb, mert az elektromos vonzóerő sokkal erősebb a gravitációsnál.
2. Az itt leírt jelenség kísérletileg nem figyelhető meg, mert a doboz fenekére ,,leülő'' elektron összenergiája nagyon kicsiny érték, kb.

m g (Δ x) = 10^{- 32} J

kellene legyen. Ilyen alacsony energiájú állapotban csak akkor maradhatna meg egy részecske, ha az őt véletlenszerűen ,,lökdöső'',

T

hőmérsékletű környezettől kapott átlagos

k T

energia nem nagyobb, mint az elektron energiája (pontosabban az energiaszintek távolsága). Mivel a

k

Boltzmann-állandó

10^{- 23} J/K

nagyságrendű, a szükséges ,,nyugodt'' környezet

10^{- 9}

K hőmérsékletű, vagyis irreálisan hideg kellene legyen!
3. 1997. tavaszán emlékezett meg a világ az elektron felfedezésének 100 éves évfordulójáról (lásd még az FF. 3075. kitűzött feladatot lapunk 318. oldalán). Ez a ‐ bizonyos értelemben elemi, belső szerkezet nélküli ‐ részecske az elmúlt száz év alatt nagyon sok meglepetést okozott a fizikusoknak, s még ma sem állíthatjuk, hogy valamennyi titkát megismertük.