Kezdőlap


Feladat:	3045. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1997/október, 445. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Soros (feszültség-) rezonancia, Soros RLC-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: 3045. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A soros $R L C$ -kör impedanciája $ω$ frekvencián

\begin{matrix} Z (ω) = \sqrt[]{R^{2} + {(L ω - \frac{1}{ω C})}^{2}} . \end{matrix}

(1)

Mivel 120 V generátorfeszültségnél az effektív áramerősség 3 A, a kör impedanciája

40 Ω

. Ezt az értéket, valamint

R, L, C

megadott számadatait (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} L ω - \frac{1}{ω C} = \sqrt[]{40^{2} - 15^{2}} Ω = \pm 37 Ω \end{matrix}

adódik, ahonnan az

ω

-ra vonatkozó másodfokú egyenletek gyökei:

\begin{matrix} ω_{1} = 511 Hz, ω_{2} = - 326 Hz, ω_{3} = 326 Hz, ω_{4} = - 511 Hz . \end{matrix}

Fizika jelentés csak a pozitív körfrekvenciáknak tulajdonítható, az ezekhez tartozó

f = ω / (2 π)

frekvenciák:

f_{1} \approx 81 Hz

és

f_{3} \approx 52 Hz

.
Ha változtatjuk (rögzített

U

feszültség mellett) a frekvenciát, a körben folyó áram erősségét az

I (ω) = U / Z (ω)

képletből számíthatjuk ki, majd ennek ismeretében megkaphatjuk a tekercsre eső

U_{L}

, a kondenzátorra jutó

U_{C}

és az ohmikus ellenállás

U_{R}

feszültségét is:

\begin{matrix} U_{L} (ω) = \frac{U L ω}{\sqrt[]{R^{2} + {(L ω - \frac{1}{ω C})}^{2}}}, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} U_{C} (ω) = \frac{1}{ω C} \frac{U}{\sqrt[]{R^{2} + {(L ω - \frac{1}{ω C})}^{2}}} . \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} U_{R} (ω) = \frac{U R}{\sqrt[]{R^{2} + {(L ω - \frac{1}{ω C})}^{2}}} . \end{matrix}

(4)

Megvizsgálva ezeket a függvényeket megfigyelhetjük, hogy a tekercsen, illetve a kondenzátoron fellépő feszültségnek nem ugyanott van maximuma. ^{$^{*}$}
Az egyes áramköri elemekre jutó feszültség maximumát differenciálszámítással, vagy elemi úton, másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásával kereshető meg. Feltehetjük ugyanis azt a kérdést, hogy hány különböző

ω

mellett lesz a vizsgált elemre (a kondenzátorra, az ellenállásra vagy a tekercsre) eső feszültség bizonyos meghatározott

U

érték. A gyökök száma 2, 1 vagy 0 lehet (lásd a vázlatos ábrát), s a maximumhelyet éppen az jellemzi, hogy az

ω

-ra vonatkozó egyenletnek pontosan egy gyöke van. A (2) egyenletből algebrai átalakításokkal az

x = 1 / ω^{2}

mennyiségre egy másodfokú egyenletek kaphatunk, amelynek akkor van 1 gyöke, ha

\begin{matrix} {(\frac{U}{U_{L}})}^{2} = \frac{R^{2} C}{L} - {(\frac{R^{2} C}{2 L})}^{2} . \end{matrix}

Innen az adatok behelyettesítése után a maximális feszültségre

U_{L} = 655 V

adódik. Hasonló megfontolásokkal ‐ a (3) egyenlet gyökeinek számát vizsgálva ‐ adódik, hogy a kondenzátorra jutó maximális feszültség is éppen

655 V

Több dolgozat alapján

^{$^{*}$}Ezen jelenség részleteiről szól Légrádi Imre A feszültségi rezonanciáról című cikke, amely a KöMaL 1995. évi 1. számában jelent meg. ‐ (A szerk.)