Kezdőlap


Feladat:	3038. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ács Róbert , Bálint Imre , Borsos Júlia , Deme Roland , Kacsuk Zsófia , Kovács Dániel , Kránicz Ákos , Mátyási István , Négyesi Gábor , Várkonyi Péter , Varró Gergely , Zawadowski Ádám
Füzet:	1997/május, 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés lejtőn, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: 3038. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az ék (vízszintes) gyorsulását $A$ -val, a golyónak az ékhez viszonyított (felfelé irányított) gyorsulását pedig $a$ -val (lásd az ábrát). A golyó gyorsulása ekkor a talajhoz (inerciarendszerhez) viszonyítva:

\begin{matrix} a_{x} = A - a cos α, illetve a_{y} = a sin α, \end{matrix}

(1)

szöggyorsulása pedig (a csúszásmentes gördülés feltétele miatt)

β = a / R .

Ha az ék és a golyó között ható nyomóerőt

K

-val, a súrlódási erőt pedig

S

-sel jelöljük (az ábrán látható irányítással), akkor a az ék illetve a golyó mozgásegyenletei:

\begin{matrix} \begin{matrix} F - S cos α - K sin α & = M A, & (2) \\ K cos α - S sin α - m g & = m a_{y}, & (3) \\ K sin α + S cos α & = m a_{x}, & (4) \end{matrix} \end{matrix}

a golyó forgómozgásának egyenlete pedig

\begin{matrix} S R = \frac{2}{5} m R^{2} β . \end{matrix}

(5)

(Feltételeztük, hogy a gömb homogén tömegeloszlású, s így a tehetetlenségi nyomatéka

2 m R^{2} / 5

.)

Felhasználhatjuk még, hogy a golyó

t

idő alatt függőleges irányban egyenletesen gyorsulva

h

magasságba kerül, tehát

\begin{matrix} h = \frac{a_{y} t^{2}}{2}, ahonnan a_{y} = \frac{2 h}{t^{2}} = 0, 4 {m/s}^{2}, \end{matrix}

s így a golyónak az ékhez viszonyított gyorsulására

\begin{matrix} a = \frac{a_{y}}{sin α} = 1, 17 {m/s}^{2} \end{matrix}

adódik. Innen

(5)

és a gördülés feltételének felhasználásával

\begin{matrix} S = \frac{2}{5} m a = 4, 68 N, \end{matrix}

(3)

-ból pedig

\begin{matrix} K = \frac{m g + S sin α + m a_{y}}{cos α} = 110, 3 N . \end{matrix}

A csúszásmentes gördülés feltétele:

| S | \leq μ N

, azaz

\begin{matrix} μ \geq \frac{S}{N} = 0, 042. \end{matrix}

K

és

S

ismeretében (4) alapján kiszámíthatjuk

a_{x}

-et, majd (1) felhasználásával az ék gyorsulását

\begin{matrix} A = \frac{7 a + 5 g sin α}{5 cos α} = 5, 31 {m/s}^{2}, \end{matrix}

(6)

(2)

egyenletből pedig a keresett

F

erőt:

\begin{matrix} F = (m + M) g \cdot tg α + (\frac{7}{5} M + \frac{2 + 5 sin^{2} α}{5} m) \frac{2 h}{t^{2} sin α cos α} = 148, 4 N . \end{matrix}

(7)

Deme Roland (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., IV. o.t.) és

Zawadowski Ádám (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A számítás során nem vettük figyelembe, hogy a golyó kezdetben nem érintheti az ék legalsó pontját (hiszen akkor a talajba nyomódna), hanem egy kicsivel (kb. 1 cm-rel) magasabbról indulhat csak.

Mátyási István (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o.t.)

2. Az ékre ható erőt a munkatétel és a lendületváltozás törvénye segítségével is ki lehet számítani. Jelöljük az ék (egyenletes) gyorsulását most is

A

-val, a golyónak az ékhez viszonyított gyorsulását pedig

a

-val. A mozgás

t

ideje alatt az ék

V = A t

sebességre gyorsul fel. A golyó vízszintes sebessége

v_{x} = A t - a t cos α,

függőleges sebessége

v_{y} = a t sin α,

szögsebessége pedig

ω = a t / R

lesz. Ugyanezen idő alatt az ék elmozdulása

A t^{2} / 2

, a golyó függőleges emelkedése

h

, így rendszerre ható külső erők munkája:

W = F \cdot A t^{2} / 2 - m g h .

A munkatétel szerint fennáll, hogy

\begin{matrix} F \cdot \frac{A t^{2}}{2} - m g h = \frac{1}{2} M \cdot {(A t)}^{2} + \frac{1}{2} m \cdot {(a t sin α)}^{2} + \frac{1}{2} m \cdot {(A t - a t cos α)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m R^{2} \cdot {(\frac{a}{R})}^{2} . \end{matrix}

F

erő

t

idő alatt megváltoztatja a rendszer vízszintes irányú lendületét (impulzusát):

\begin{matrix} F t = M \cdot A t + m \cdot (A t - a t cos α) . \end{matrix}

A fenti két egyenletből

F

-t és

A

-t kiszámíthatjuk, és a (6), illetve (7) képleteknek megfelelő értékeket kapjuk.
Az itt alkalmazott megoldási módszernek az az előnye, hogy benne a rendszerre ható külső erők (

F

és

m g

) szerepelnek csak, a belső erők (

S

és

K

) nem. Ugyanez jelenti a módszer hátrányát is: mivel a rendszer egészére vonatkozó mennyiségeket (mozgási energiát, lendületet) vizsgáljuk, az egyes részek között ható belső erőkről semmit nem tudunk állítani, s emiatt például a súrlódási együttható minimális értékét sem tudjuk egyszerű eljárással meghatározni.

(G. P.)