Kezdőlap


Feladat:	3023. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bögös Attila , Erdélyi Ildikó , Hegedűs Ákos , Mach Tivadar , Pap Zsolt , Péterfalvi Csaba , Samu Axel , Sutka Melinda
Füzet:	1997/április, 252. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/december: 3023. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a lejtő (vízszintes) gyorsulását az ábrán látható módon $A$ -val, a kis testnek a lejtőhöz viszonyított gyorsulását pedig $a$ -val! A kis test gyorsulása a külső (inercia-) rendszerből nézve (ahol a Newton-féle mozgásegyenletek érvényesek) a két gyorsulás vektori összege: $a^{*} = A + a$ .
A kis testre az $F$ fonálerőn kívül az $m g$ gravitációs erő és a lejtő által kifejtett, annak síkjára merőleges $N$ nyomóerő hat. A lejtőre ható függőleges irányú erőket (a súlyerőt és a talaj nyomóerejét), valamint a belső erőket ( $N$ ellenerejét és a csigánál ható erőt) az ábrán nem tüntettük fel.
Írjuk fel a kis test lejtő irányú mozgásegyenletét (inerciarendszerből nézve), valamint az egész rendszer (lejtő + kis test) vízszintes irányú impulzusának egységnyi időre eső megváltozását:

\begin{matrix} F - m g sin α = m (a + A cos α), \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} F = (M + m) A + m a cos α . \end{matrix}

(2)

(Azért célszerű éppen ezeket az egyenleteket felírni, mert nem szerepelnek bennük a belső erők: az

N

nyomóerő, a csigánál ható erő, illetve a talaj és a lejtő közötti erő.)
Az (1)‐(2) egyenletrendszer megoldása és a megadott számadatok behelyettesítése után

\begin{matrix} A = \frac{F (1 - cos α) + m g sin α cos α}{M + m sin^{2} α} = 1, 3 \frac{m}{s^{2}}, \end{matrix}

(3)

illetve

\begin{matrix} a = \frac{(F / m) (M + m - m cos α) - (M + m) g sin α}{M + m sin^{2} α .} = 13, 95 \frac{m}{s^{2}} \end{matrix}

(4)

adódik. Ezekből a kis test gyorsulásának inerciarendszerbeli vízszintes és függőleges komponense:

\begin{matrix} a_{v}^{*} = A + a cos α = 13, 32 \frac{m}{s^{2}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} a_{f}^{*} = a sin α = 6, 92 \frac{m}{s^{2}} . \end{matrix}

(5)

Ez a vektor

\begin{matrix} a^{*} = \sqrt[]{{(a_{v}^{*})}^{2} + {(a_{f}^{*})}^{2}} = 15, 1 {m/s}^{2} \end{matrix}

nagyságú és az iránya

arc tg (a_{f}^{*} / a_{v}^{*}) = 27, 4^{\circ}

-ot zár be a vízszintessel.

Több megoldás alapján

Megjegyzések. 1. A fenti megoldás csak akkor érvényes, ha az ábrán látható

N

erő valóban nyomóerő, vagyis

N \geq 0.

A kis test lejtőre merőleges irányú mozgásegyenletéből ki lehet számítani

N

-t, s abból leolvasható, hogy az

F sin α (1 - cos α) \leq M g cos α

feltételnek kell teljesülnie. A megadott számadatokkal ez az egyenlőtlenség teljesül, tehát a kis test nem válik el a lejtőtől.
2. Sokan ‐ hibásan ‐ úgy számolták ki a kis test gyorsulását, mintha egy rögzített lejtőn mozogna, majd a kis test által a (rögzített) lejtőre kifejtett

m g cos α

nyomóerejének vízszintes összetevőjéből és a csigánál fellépő

F (1 - cos α)

vízszintes erőből határozták meg a lejtő gyorsulását. Az a hiba ebben a gondolatmenetben, hogy a gyorsuló lejtőn másképp mozog a kis test, mint egy rögzített lejtőn, más erővel nyomja a lejtőt, és emiatt a lejtő gyorsulását is másképp kell számítani. A két test mozgásegyenletét nem lehet egymástól függetlenül kezelni, hanem egyszerre kell megoldani. Ezzel a hibás számítási módszerrel

a = 15 {m/s}^{2}

és

A = 1, 4 {m/s}^{2}

adódik. Ezek a számértékek nincsenek messze a (3) és (4)-ben szereplő eredményektől; ennek az az oka, hogy a

M / m = 5

tömegarány elég nagy, a lejtő a kis testhez viszonyítva elég nehéz.