A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a Föld tömegét -mel, sugarát -rel, forgási szögsebességét -val, a Hold hasonló adatait pedig -mel, -rel és -val. A Hold‐Föld távolság legyen , a tömegközéppont ekkor a Föld középpontjától , a Hold középpontjától pedig távolságban található. A Hold és a Föld egyaránt kering a közös tömegközéppont körül, szögsebességük megegyezik a Hold tengelyforgási szögsebességével, -val. (Az egyszerűség kedvéért nem vesszük számításba a földi Egyenlítő síkjának, a Hold keringési síkjának és a Hold egyenlítőjének hajlásszögét, hanem úgy tekintjük, mintha mindezek a mozgások ugyanabban a síkban történnének. Ténylegesen a Hold egyenlítője -os szöget zár be a holdpálya síkjával, a Föld Egyenlítője pedig -os szögben hajlik az ekliptikához képest, amivel a holdpálya síkja -os szöget zár be. Ugyancsak figyelmen kívül hagyjuk a Föld‐Hold rendszer mozgását a Nap körül.) A Hold és a Föld az említett közelítésekkel zárt rendszernek tekinthető, melyre érvényes a perdületmegmaradás törvénye. A Föld tehetetlenségi nyomatékát -del, a Holdét pedig -dal jelölve (mindkettőt a középpontjukra, vagyis a saját tömegközéppontjukra vonatkoztatjuk), a rendszer teljes impulzusnyomatéka (perdülete): | | Megmutatjuk, hogy a Föld saját perdülete sokkal nagyobb, mint a pályamenti mozgásból adódó perülete, a Holdnál pedig fordított a helyzet: a saját perdülete elhanyagolhatóan kicsi a pályamenti mozgásból adódó impulzusnyomaték mellett. Felhasználjuk továbbá, hogy , , és , valamint a Hold és a Föld tehetetlenségi nyomatékának nagyságrendi becsléseként Ezekkel az adatokkal | | Hasonlóan adódik, hogy | | A fenti közelítésben a perdületmegmaradás törvénye így fogalmazható meg: | | (1) | A Hold (és a Föld) tömegközéppont körüli mozgásának pályáját jó közelítéssel körnek tekinthetjük, melyre a Newton-féle mozgásegyenletből az feltétel adódik. Az (1) és (2) egyenletekből azt olvashatjuk ki, hogy az , és mennyiségek nem függetlenek egymástól, bármelyikük (kicsiny) megváltozása maga után vonja a másik két mennyiség változását is. Fejezzük ki pl. segítségével -t és -t! Ha felírjuk (1)-t és (2)-t olymódon, hogy helyébe -t, helyébe -t és helyébe -t helyettesítünk, akkor a kicsiny megváltozásokra (a kis mennyiségek szorzatait és magasabb hatványait elhanyagolva) a kövelkező összefüggéseket kapjuk: Ez a két egyenlet már elegendő arra, hogy összehasonlíthassuk a Föld és a Hold mozgási energiájának megváltozását. A csillagászati adatok ismeretében könnyen megkaphatjuk, hogy a Földnek nemcsak a perdülete, de a mozgási energiája is döntő mértékben a saját tengelye körüli forgásból adódik, a Hold‐Föld rendszer közös tömegközéppontjához viszonyított transzlációs mozgás energiája elhanyagolható. A Holdnál éppen fordított a helyzet: mozgási energiájának döntő része a keringésből adódik, a forgásából származó energia nem számottevő. Eszerint | | ahonnan a megváltozások aránya (3) és (4) felhasználásával | | Az árapálykeltő erők tehát elsősorban a Föld mozgási energiáját csökkentik, sokkal nagyobb mértékben, mint a Holdét.
Borsos Júlia (Győr, Révai M. Gimn, III. o.t.), | Kacsuk Zsófia (Budaörs, Illyés Gy. Gimn, IV. o.t.) és | Kocsis Bence (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn, III. o.t.) dolgozata alapján |
Megjegyzések. 1. Vegyük észre, hogy a kérdéses arány kiszámításához nem kellett ismernünk a Föld tehetetlenségi nyomatékát. Nem volt szükségünk olyan feltevésre, miszerint a Föld homogén tömegeloszlású lenne és emiatt teljesülne. Ténylegesen a Föld tömegeloszlása erősen inhomogén: a felszíni kőzetek átlagsűrűsége kb. , míg a Föld egészének átlagsűrűsége (amint az a Hold távolságából és a keringési idejéből kiszámítható) Ezek a számok arra utalnak, hogy a Föld középső része sokkal sűrűbb kell legyen, mint a többi része, és emiatt a tehetetlenségi nyomatéka is kisebb, mint a homogén gömbé. 2. A Föld‐Hold rendszer teljes mechanikai energiája, a mozgási energiák és a gravitációs helyzeti energia összege természetesen nem marad változatlan, hanem időben lassan csökken. A csökkenés ütemét nagyon nehéz lenne elméleti megfontolásokból kiindulva számszerűen megadni, hiszen azt a Föld és az óceánok belső súrlódása, viszkózitása határozza meg. Meg lehet mondani azonban a változások előjelét. A teljes mechanikai energia nyilván csökken. Ha ezt a változást kifejezzük , és megváltozásával, végül pedig (3) és (4) segítségével valamennyi változást -lel, akkor az összes mechanikai energia csökkenéséből az adódik, hogy és csökken (tehát a forgási és keringési energia csökken), viszont növekszik, tehát a Hold távolsága a Földtől (és ezzel együtt a gravitációs helyzeti energiája) növekszik.
|