Kezdőlap


Feladat:	3019. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Borsos Júlia , Kacsuk Zsófia , Kocsis Bence , Várkonyi Péter , Zawadowski Ádám
Füzet:	1997/március, 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Árapály, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/november: 3019. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a Föld tömegét $M$ -mel, sugarát $R$ -rel, forgási szögsebességét $Ω$ -val, a Hold hasonló adatait pedig $m$ -mel, $r$ -rel és $ω$ -val. A Hold‐Föld távolság legyen $L$ , a tömegközéppont ekkor a Föld középpontjától $\frac{m}{m + M} L$ , a Hold középpontjától pedig $\frac{M}{m + M} L$ távolságban található. A Hold és a Föld egyaránt kering a közös tömegközéppont körül, szögsebességük megegyezik a Hold tengelyforgási szögsebességével, $ω$ -val. (Az egyszerűség kedvéért nem vesszük számításba a földi Egyenlítő síkjának, a Hold keringési síkjának és a Hold egyenlítőjének hajlásszögét, hanem úgy tekintjük, mintha mindezek a mozgások ugyanabban a síkban történnének. Ténylegesen a Hold egyenlítője $6^{\circ}$ -os szöget zár be a holdpálya síkjával, a Föld Egyenlítője pedig $23, 5^{\circ}$ -os szögben hajlik az ekliptikához képest, amivel a holdpálya síkja $5^{\circ}$ -os szöget zár be. Ugyancsak figyelmen kívül hagyjuk a Föld‐Hold rendszer mozgását a Nap körül.)
A Hold és a Föld az említett közelítésekkel zárt rendszernek tekinthető, melyre érvényes a perdületmegmaradás törvénye. A Föld tehetetlenségi nyomatékát $Θ^{Föld}$ -del, a Holdét pedig $Θ^{Hold}$ -dal jelölve (mindkettőt a középpontjukra, vagyis a saját tömegközéppontjukra vonatkoztatjuk), a rendszer teljes impulzusnyomatéka (perdülete):

\begin{matrix} \begin{matrix} N_{összes} = N_{saját}^{Föld} + N_{pálya}^{Föld} + N_{saját}^{Hold} + N_{pálya}^{Hold} = \\ = Θ^{Föld} Ω + M {(\frac{m}{m + M} L)}^{2} ω + Θ^{Hold} ω + m {(\frac{M}{m + M} L)}^{2} ω = állandó. \end{matrix} \end{matrix}

Megmutatjuk, hogy a Föld saját perdülete sokkal nagyobb, mint a pályamenti mozgásból adódó perülete, a Holdnál pedig fordított a helyzet: a saját perdülete elhanyagolhatóan kicsi a pályamenti mozgásból adódó impulzusnyomaték mellett. Felhasználjuk továbbá, hogy

M / m \approx 81

Ω / ω \approx 30

L / R \approx 60

és

L / r \approx 110

, valamint a Hold és a Föld tehetetlenségi nyomatékának nagyságrendi becsléseként

Θ^{Hold} \approx 0,4 m r^{2},

Θ^{Föld} \approx 0,4 M R^{2} .

Ezekkel az adatokkal

\begin{matrix} \frac{N_{saját}^{Föld}}{N_{pálya}^{Föld}} \approx \frac{0,4 M R^{2} Ω}{M {(m L / M)}^{2} ω} = 0, 4 {(\frac{M}{m})}^{2} \cdot {(\frac{R}{L})}^{2} \cdot \frac{Ω}{ω} \approx 21 ≫ 1. \end{matrix}

Hasonlóan adódik, hogy

\begin{matrix} \frac{N_{saját}^{Hold}}{N_{pálya}^{Hold}} \approx \frac{0,4 m r^{2} ω}{m L^{2} ω} = 0, 4 \cdot {(\frac{r}{L})}^{2} \approx 3 \cdot 10^{- 5} ≪ 1. \end{matrix}

A fenti közelítésben a perdületmegmaradás törvénye így fogalmazható meg:

\begin{matrix} N_{összes} = N_{saját}^{Föld} + N_{pálya}^{Hold} = Θ^{Föld} Ω + m L^{2} ω = állandó. \end{matrix}

(1)

A Hold (és a Föld) tömegközéppont körüli mozgásának pályáját jó közelítéssel körnek tekinthetjük, melyre a Newton-féle mozgásegyenletből az

\begin{matrix} f (M + m) = L^{3} ω^{2} \end{matrix}

(2)

feltétel adódik. Az (1) és (2) egyenletekből azt olvashatjuk ki, hogy az

L

Ω

és

ω

mennyiségek nem függetlenek egymástól, bármelyikük (kicsiny) megváltozása maga után vonja a másik két mennyiség változását is. Fejezzük ki pl.

Δ L

segítségével

Δ Ω

-t és

Δ ω

-t! Ha felírjuk (1)-t és (2)-t olymódon, hogy

Ω

helyébe

Ω + Δ Ω

-t,

ω

helyébe

ω + Δ ω

-t és

L

helyébe

L + Δ L

-t helyettesítünk, akkor a kicsiny megváltozásokra (a kis mennyiségek szorzatait és magasabb hatványait elhanyagolva) a kövelkező összefüggéseket kapjuk:

\begin{matrix} Δ Ω = - \frac{m L ω}{2 Θ^{Föld}} \cdot Δ L, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} Δ ω = - \frac{3 ω}{2 L} Δ L . \end{matrix}

(4)

Ez a két egyenlet már elegendő arra, hogy összehasonlíthassuk a Föld és a Hold mozgási energiájának megváltozását. A csillagászati adatok ismeretében könnyen megkaphatjuk, hogy a Földnek nemcsak a perdülete, de a mozgási energiája is döntő mértékben a saját tengelye körüli forgásból adódik, a Hold‐Föld rendszer közös tömegközéppontjához viszonyított transzlációs mozgás energiája elhanyagolható. A Holdnál éppen fordított a helyzet: mozgási energiájának döntő része a keringésből adódik, a forgásából származó energia nem számottevő. Eszerint

\begin{matrix} \begin{matrix} E_{mozgási}^{Föld} \approx \frac{1}{2} Θ^{Föld} Ω^{2}, E_{mozgási}^{Hold} \approx \frac{1}{2} m L^{2} ω^{2}, \end{matrix} \end{matrix}

ahonnan a megváltozások aránya (3) és (4) felhasználásával

\begin{matrix} \frac{Δ E^{Föld}}{Δ E^{Hold}} = \frac{Θ^{Föld} Ω \cdot Δ Ω}{m L ω^{2} \cdot Δ L + m L^{2} ω \cdot Δ ω} = \frac{Ω}{ω} \approx \frac{1 hónap}{1 nap} \approx 30. \end{matrix}

Az árapálykeltő erők tehát elsősorban a Föld mozgási energiáját csökkentik, sokkal nagyobb mértékben, mint a Holdét.

Borsos Júlia (Győr, Révai M. Gimn, III. o.t.),

Kacsuk Zsófia (Budaörs, Illyés Gy. Gimn, IV. o.t.) és

Kocsis Bence (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn, III. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Vegyük észre, hogy a kérdéses arány kiszámításához nem kellett ismernünk a Föld tehetetlenségi nyomatékát. Nem volt szükségünk olyan feltevésre, miszerint a Föld homogén tömegeloszlású lenne és emiatt

Θ^{Föld} = \frac{2}{5} M R^{2}

teljesülne. Ténylegesen a Föld tömegeloszlása erősen inhomogén: a felszíni kőzetek átlagsűrűsége kb.

3 kg / {dm}^{3}

, míg a Föld egészének átlagsűrűsége (amint az a Hold távolságából és a keringési idejéből kiszámítható)

5, 5 kg / {dm}^{3} .

Ezek a számok arra utalnak, hogy a Föld középső része sokkal sűrűbb kell legyen, mint a többi része, és emiatt a tehetetlenségi nyomatéka is kisebb, mint a homogén gömbé.
2. A Föld‐Hold rendszer teljes mechanikai energiája, a mozgási energiák és a gravitációs helyzeti energia összege természetesen nem marad változatlan, hanem időben lassan csökken. A csökkenés ütemét nagyon nehéz lenne elméleti megfontolásokból kiindulva számszerűen megadni, hiszen azt a Föld és az óceánok belső súrlódása, viszkózitása határozza meg. Meg lehet mondani azonban a változások előjelét. A teljes mechanikai energia nyilván csökken. Ha ezt a változást kifejezzük

L

Ω

és

ω

megváltozásával, végül pedig (3) és (4) segítségével valamennyi változást

Δ L

-lel, akkor az összes mechanikai energia csökkenéséből az adódik, hogy

Ω

és

ω

csökken (tehát a forgási és keringési energia csökken), viszont

L

növekszik, tehát a Hold távolsága a Földtől (és ezzel együtt a gravitációs helyzeti energiája) növekszik.