Feladat:	3015. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Deme Roland ,  Jakabfy Miklós ,  Kacsuk Zsófia ,  Szabó László ,  Völgyi István
Füzet:	1997/március, 184. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Centrifugális erő, Energiamegmaradás, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Egyéb megmaradási törvény, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/november: 3015. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A rúddal együtt állandó $\omega$ szögsebességgel forgó (gyorsuló!) koordináta-rendszerből nézve az $m$ tömegű, a forgástengelytől $x$ távolságban levő gyűrűre $F\left(x\right)=mx{\omega }^2$ nagyságú centrifugális erő hat. Ez az erő $x$-nek lineáris függvénye, az $R$ hosszú rúdon végzett munkája szempontjából tehát helyettesíthető az átlagos $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{átlag}}=\frac{1}{2}{F}_{\text{max}}=\frac{1}{2}mR{\omega }^2}\end{array}$ erővel (1. ábra). Ennek az erőnek a munkája $R$ úton meg kell egyezzék a gyűrű mozgási energiájának megváltozásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=\frac{1}{2}m{R}^2{\omega }^2=\frac{1}{2}m{v}_r^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a gyűrű radiális sebessége a lerepülés pillanatában $v_r=R\omega$. Másrészt a gyűrű $\omega$ szögsebességgel forog a rúddal együtt, így a külső megfigyelő azt látja, hogy $v_t=R\omega$ tangenciális (érintő irányú) sebességgel rendelkezik. Látható, hogy a gyűrű radiális és tangenciális sebessége éppen megegyezik, tehát a gyűrű ${45}^{\circ }$-os szögben repül le a rúdról.  Jakabfy Miklós (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o.t.),    Szabó László (Temesvár, Bartók B. Líceum, II. o.t.)   II. megoldás. Írjuk le a rúd és a gyűrű mozgását inerciarendszerből nézve! Tételezzük fel, hogy a rúdra nem hat semmilyen külső forgatónyomaték, emiatt a rendszer (a rúd és a gyűrű) teljes perdülete és teljes mozgási energiája a gyűrű mozgása során nem változhat meg. Jelöljük a rúd tömegét $M$-mel, hosszát $R$-rel, kezdeti szögsebességét pedig $\omega$-val. Amikor az $m$ tömegű gyűrű a rúd szélére ér, a szögsebesség ${\omega }_1$, a gyűrű radiális sebessége pedig $v_r$ lesz. Az impulzusnyomaték megmaradása $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}M{R}^2\omega =\left(\frac{1}{3}M{R}^2+m{R}^2\right){\omega }_1\mathrm{,}}\end{array}$ a rendszer energiájának megmaradása pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}M{R}^2\right){\omega }^2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}M{R}^2+m{R}^2\right){\omega }_1^2+\frac{1}{2}m{v}_r^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből a két egyenletből ${\omega }_1$ és $v_r$ kiszámítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_1=\frac{M}{M+3m}\omega \mathrm{,}\text{illetve}{v}_r=R\omega \sqrt[]{\frac{M}{M+3m}}\mathrm{.}}\end{array}$ Amennyiben $M\gg m$ (ez a határeset felel meg a feladat szövegében szereplő egyenletesen forgó rúdnak), ${\omega }_1=\omega$, illetve $v_r=R\omega$ áll fenn. Eszerint a gyűrű sugárirányú és érintőleges sebessége megegyezik, ami annyit jelent, hogy ${45}^{\circ }$-os szögben repül le a rúdról.  Deme Roland (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., IV. o.t.),    Völgyi István (Szekszárd, Garay J. Gimn., IV. o.t.)   III. megoldás. Vizsgáljuk a gyűrű mozgását a Földhöz rögzített koordináta-rendszerben. Legyen a pillanatnyi radiális sebessége $v_r$, tangenciális sebessége $v_t$, a forgástengelytől mért távolsága pedig $x$. Egy kicsiny $\Delta t$ idő alatt a gyűrűnek a tengelytől mért távolsága $\Delta x=v_r\Delta t$ értékkel megnő, emiatt a tangenciális sebessége (amely minden helyzetben $v_r=x\omega$) meg kell változzék $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta v_t=v_r\cdot \omega \Delta t}\end{array}$ értékkel. Másrészt a gyűrűre ható erő mindig merőleges a rúdra, ezért a teljes sebességének rúdirányú komponense nem változhat meg. A 2. ábráról leolvashatjuk, hogy ez a feltétel (kicsiny szögek koszinuszát 1-gyel, szinuszát pedig a szöggel közelítve) annyit jelent, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta v_r=v_t\cdot \omega \Delta t\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti két egyenlet szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta \left(v_t^2\right)=2v_t\Delta v_t=2v_r\Delta v_r=\Delta \left(v_r^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $v_t^2-v_r^2=$állandó. Mivel ez a különbség kezdetben nulla volt, később is az kell maradjon, tehát a mozgás során később is fennáll, hogy $v_r=v_t\mathrm{.}$ Eszerint a gyűrű sebessége mindig ${45}^{\circ }$-os szöget zár be a rúddal, s ez akkor is igaz, amikor lerepül róla.  Kacsuk Zsófia (Budaörs, Illyés Gy. Gimn., IV. o.t.)   Megjegyzések. 1. A gyűrű sebessége minden pillanatban ${45}^{\circ }$-os szöget zár be a rúd irányával, a pályagörbéje az $x\left(\phi \right)=x_0{e}^{\phi }$ egyenletű ún. logaritmikus spirál. A lerepülésig eltelő idő pontszerűnek tekintett és a forgástengely közvetlen közeléből indított gyűrű esetén nagyon nagy (határesetben végtelen) is lehet. Véges méretű és a forgástengelytől tetszőlegesen közelről induló gyűrűm véges idő alatt éri el a rúd szélét. 2. A forgó koordináta-rendszerben sugár irányban mozgó gyűrűre a centrifugális erőn kívül hat még a Coriolis-erő is. Ez az erő azonban merőleges a rúdra, s így (súrlódás hiányában) nem kap szerepet a munkatételben.