|
Feladat: |
3015. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Deme Roland , Jakabfy Miklós , Kacsuk Zsófia , Szabó László , Völgyi István |
Füzet: |
1997/március,
184. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Centrifugális erő, Energiamegmaradás, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Egyéb megmaradási törvény, Munkatétel, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/november: 3015. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A rúddal együtt állandó szögsebességgel forgó (gyorsuló!) koordináta-rendszerből nézve az tömegű, a forgástengelytől távolságban levő gyűrűre nagyságú centrifugális erő hat. Ez az erő -nek lineáris függvénye, az hosszú rúdon végzett munkája szempontjából tehát helyettesíthető az átlagos erővel (1. ábra). Ennek az erőnek a munkája úton meg kell egyezzék a gyűrű mozgási energiájának megváltozásával: ahonnan a gyűrű radiális sebessége a lerepülés pillanatában . Másrészt a gyűrű szögsebességgel forog a rúddal együtt, így a külső megfigyelő azt látja, hogy tangenciális (érintő irányú) sebességgel rendelkezik. Látható, hogy a gyűrű radiális és tangenciális sebessége éppen megegyezik, tehát a gyűrű -os szögben repül le a rúdról. Jakabfy Miklós (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o.t.), |
Szabó László (Temesvár, Bartók B. Líceum, II. o.t.) |
II. megoldás. Írjuk le a rúd és a gyűrű mozgását inerciarendszerből nézve! Tételezzük fel, hogy a rúdra nem hat semmilyen külső forgatónyomaték, emiatt a rendszer (a rúd és a gyűrű) teljes perdülete és teljes mozgási energiája a gyűrű mozgása során nem változhat meg. Jelöljük a rúd tömegét -mel, hosszát -rel, kezdeti szögsebességét pedig -val. Amikor az tömegű gyűrű a rúd szélére ér, a szögsebesség , a gyűrű radiális sebessége pedig lesz. Az impulzusnyomaték megmaradása a rendszer energiájának megmaradása pedig | | Ebből a két egyenletből és kiszámítható: | | Amennyiben (ez a határeset felel meg a feladat szövegében szereplő egyenletesen forgó rúdnak), , illetve áll fenn. Eszerint a gyűrű sugárirányú és érintőleges sebessége megegyezik, ami annyit jelent, hogy -os szögben repül le a rúdról.
Deme Roland (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., IV. o.t.), |
Völgyi István (Szekszárd, Garay J. Gimn., IV. o.t.) |
III. megoldás. Vizsgáljuk a gyűrű mozgását a Földhöz rögzített koordináta-rendszerben. Legyen a pillanatnyi radiális sebessége , tangenciális sebessége , a forgástengelytől mért távolsága pedig . Egy kicsiny idő alatt a gyűrűnek a tengelytől mért távolsága értékkel megnő, emiatt a tangenciális sebessége (amely minden helyzetben ) meg kell változzék értékkel. Másrészt a gyűrűre ható erő mindig merőleges a rúdra, ezért a teljes sebességének rúdirányú komponense nem változhat meg. A 2. ábráról leolvashatjuk, hogy ez a feltétel (kicsiny szögek koszinuszát 1-gyel, szinuszát pedig a szöggel közelítve) annyit jelent, hogy A fenti két egyenlet szerint | | vagyis állandó. Mivel ez a különbség kezdetben nulla volt, később is az kell maradjon, tehát a mozgás során később is fennáll, hogy Eszerint a gyűrű sebessége mindig -os szöget zár be a rúddal, s ez akkor is igaz, amikor lerepül róla.
Kacsuk Zsófia (Budaörs, Illyés Gy. Gimn., IV. o.t.) |
Megjegyzések. 1. A gyűrű sebessége minden pillanatban -os szöget zár be a rúd irányával, a pályagörbéje az egyenletű ún. logaritmikus spirál. A lerepülésig eltelő idő pontszerűnek tekintett és a forgástengely közvetlen közeléből indított gyűrű esetén nagyon nagy (határesetben végtelen) is lehet. Véges méretű és a forgástengelytől tetszőlegesen közelről induló gyűrűm véges idő alatt éri el a rúd szélét. 2. A forgó koordináta-rendszerben sugár irányban mozgó gyűrűre a centrifugális erőn kívül hat még a Coriolis-erő is. Ez az erő azonban merőleges a rúdra, s így (súrlódás hiányában) nem kap szerepet a munkatételben.
|
|