Kezdőlap


Feladat:	3010. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Borsos Júlia , Fabó Márton , Kránicz Ákos , Orosz Gábor , Várkonyi Péter , Varró Gergely , Vukics András , Zawadowski Ádám
Füzet:	1997/február, 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Felületi feszültségből származó erő, Felületi feszültségből származó energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: 3010. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyensúly akkor alakul ki, amikor a nehézségi erő $O$ pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka megegyezik a felületi feszültségből származó erő forgatónyomatékával. Jelöljük $σ$ -val a felületi feszültséget, $m$ -mel pedig a tű tömegét! Az 1. ábráról leolvashatjuk, hogy a nehézségi erő forgatónyomatéka

\begin{matrix} M_{1} = m g a sin α, \end{matrix}

(1)

a felületi erőké pedig

\begin{matrix} M_{2} = {\begin{matrix} \frac{σ a^{2}}{cos^{2} α} & haα \leq 45^{\circ}; \\ \frac{σ a^{2}}{sin^{2} α} & haα \geq 45^{\circ}. \end{matrix} \end{matrix}

(2)

Az egyensúly feltétele:

M_{1} = M_{2}

, amely egyenletet pl. grafikusan oldhatjuk meg. Osszuk el

M_{1}

-t is és

M_{2}

-t is

σ a^{2}

-tel, majd ábrázoljuk ezeket a mennyiségeket

α

függvényében. Célszerű bevezetni az

(m g) / (σ a)

mennyiségre a

K

jelölést. Ez a dimenziótlan szám azt jelzi, hogy mekkora a gravitációs erő és a felületi erők aránya. Az egyensúlyi helyzetet jellemző

α

szög nyilván függ

K

értékétől.
Ha

K < 1

, akkor a gravitációr erő forgatónyomatéka mindig kisebb, mint a felületi erőké, a tű tehát egészen

α = 90^{\circ}

-ig emelkedik, s ott a keret felső szélébe ütközve kerülhet csak egyensúlyba (2.a ábra). Ha

K > 1

(de nem sokkal nagyobb 1-nél), akkor

45^{\circ}

és

90^{\circ}

között találunk egy

S

egyensúlyi helyzetet (2.b ábra). Ez stabil egyensúlyi helyzet, hiszen ha egy kicsit megnöveljük

α

-t, a nehézségi erő lefelé húzó forgatónyomatéka nagyobb lesz, mint a felületi erők felfelé húzó nyomatéka, a tű tehát visszatér az egyensúlyi állásába.
Tovább növelve

K

-t, kb.

2, 6

értéknél megjelenik egy újabb egyensúlyi helyzet

α_{0} \approx 35, 3^{\circ}

-nál (2.c ábra), ez azonban instabil. Ha

K > 2, 6

, akkor egy újabb stabil

S

és egy instabil

I

egyensúlyi helyzetet találunk (2.d ábra), majd ha

K > 2, 8

, már csak egyetlen stabil helyzet marad (2.e ábra).
Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a tű csak az

α < α_{0} = 35, 3^{\circ}

és a

45^{\circ} < α < 90^{\circ}

intervallumokban lehet stabil egyensúlyban,

α_{0}

és

45^{\circ}

között a helyzete instabil.

Vukics András (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., IV. o.t.),

Zawadowski Ádám (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)

dolgozata alapján

Megjegyzés. Differenciálszámítás segítségével be lehet látni, hogy

α_{0} = arc sin \frac{1}{\sqrt[]{3}}