Kezdőlap


Feladat:	3008. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kispál István , Koncz Imre , Vukics András
Füzet:	1997/április, 247. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb erőtörvény, Közegellenállás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: 3008. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $ρ_{test}$ sűrűségű, $R$ sugarú (tehát $4 R^{3} π ϱ / 3$ tömegű) test mozgásegyenlete:

\begin{matrix} \frac{4 R^{3} π}{3} ρ_{test} a = \frac{4 R^{3} π}{3} (ρ_{test} - ρ_{lev}) g - \frac{1}{2} k \cdot R^{2} π ρ_{lev} \cdot v^{2} . \end{matrix}

Az egyenlet jobb oldalán szereplő erők rendre: a nehézségi erő, a felhajtóerő és a közegellenállási erő, melyet a test mögötti levegő örvénylő (turbulens) áramlása miatt a sebesség négyzetével arányosnak tekintettünk (

k \approx 0, 45

a gömb alaktényezője). A mozgásegyenlet tömörebb alakban:

\begin{matrix} a = (1 - C_{1}) g - C_{2} \cdot \frac{v^{2}}{R}, \end{matrix}

ahol

C_{1}

és

C_{2}

a sűrűségektől és a test alakjától függő pozitív állandók.
Látható, hogy a különböző méretű golyók mozgásegyenletei között az a különbség, hogy a nagyobb sugarú golyó mozgásegyenletében kisebb a közegellenállási erőnek megfelelő tag. A nagyobb sugarú golyó gyorsulása tehát minden sebességnél nagyobb, mint a kisebb golyó gyorsulása, emiatt minden sebességértéket hamarabb fog élérni, mint a kisebb golyó és a kezdőpillanatot leszámítva bármelyik pillanatban a nagyobb golyónak nagyobb lesz a sebessége (lásd az ábrát). Ebből az is következik, hogy a nagyobb méretű golyónak bármilyen időtartamra vonatkoztatott átlagsebessége is meghaladja a kisebb golyó átlagsebességét, tehát ugyanakkora

h

magasságból leejtve a golyókat a nagyobb sugarú golyó esik le hamarabb.
Ha a

t

esési időből a közegellenállás és a felhajtóerő elhanyagolásával (vagyis a

h = g t^{2} / 2

képlet alkalmazásával) számítjuk ki a nehézségi gyorsulás mért értékét, akkor a nagyobb méretű golyó kisebb esési idejéből adódik nagyobb

g_{mért}

Kispál István (Dunaújváros, Széchenyi I. Gimn., III. o.t.) és

Koncz Imre (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Írjuk fel a munkatételt a közegellenállási erő által fékezett golyó kicsiny

Δ x

elmozdulására, miközben a sebessége

v (x)

-ről

v (x + Δ x)

-re növekszik:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{4 R^{3} π}{3} ρ_{test} Δ (v^{2}) = \frac{4 R^{3} π}{3} (ρ_{test} - ρ_{lev}) g Δ x - \frac{1}{2} k R^{2} π ρ_{lev} \cdot v^{2} \cdot Δ x, \end{matrix}

ahol

Δ (v^{2}) = {[v (x + Δ x)]}^{2} - {[v (x)]}^{2}

. Bevezetve a

v^{2} = y (x)

jelölést és a munkatétel egyenletét

Δ x

-szel osztva az

y (x)

függvényre az

\begin{matrix} a \frac{Δ y}{Δ x} = b - c y \end{matrix}

differenciálegyenlet adódik (

a

b

és

c

pozitív állandók). Ez az egyenlet pontosan olyan alakú, mint egy adott feszültségű telepre kapcsolt kondenzátor feltöltődésének időbeli folyamatát leíró egyenlet, s amelynek megoldása megtalálható pl. a Négyjegyű függvénytáblázat 137. oldalán:

\begin{matrix} y (x) = \frac{b}{c} (1 - e^{x c / a}) . \end{matrix}

Ezen analógia alapján megkaphatjuk

v (x)

konkrét alakját, s leolvashatjuk, hogy ugyanakkora út megtétele után a nagyobb sugarú golyó pillanatnyi sebessége biztosan nagyobb, mint a kisebb méretű golyóé.

Vukics András (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., IV. o.t.)

2. A közegellenállási erőtörvény ismert alakja csak az egyenletes sebességgel mozgó testek esetén alkalmazható. Ha a mozgó test sebessége változik (tehát a test gyorsul), akkor azt is figyelembe kell venni, hogy a mozgása során a környező levegő egy részét is fel kell gyorsítania. Ezt a hatást (amely akkor is fellép, ha a test pillanatnyi sebessége még elhanyagolhatóan kicsi, tehát a szokásos közegellenállási erő nulla) úgy vehetjük figyelembe, mintha a test ,,effektív tömege'' megnőtt volna az általa kiszorított levegő tömegének

K

-szorosával (

K

egységnyi nagyságrendű, a test alakjától is függő dimenziótlan szám). A mozgásegyenlet módosított alakja ezek szerint

\begin{matrix} \frac{4 R^{3} π}{3} (ρ_{test} + K ρ_{lev}) a = \frac{4 R^{3} π}{3} (ρ_{test} - ρ_{lev}) g - \frac{1}{2} k R^{2} π ρ_{lev} \cdot v^{2} . \end{matrix}

Mivel az effektív tömeg (a valódi tömeghez hasonlóan) a test térfogatával arányos, a fenti megoldásban leírt gondolatmenetet nem érinti; a mozgásegyenlet alakilag változatlan marad, csak a

C_{1}

és

C_{2}

állandók számértéke módosul.

G. P.

3. Sokan (helyesen) azt állították, hogy a nagyobb sugarú golyó végsebessége nagyobb lesz, mint a kisebb sugarú golyó állandósult sebessége. Ebből a tényből azonban még nem következik, hogy a nagyobb sugarú golyó hamarabb esik le, mint a kisebb sugarú golyó, hiszen a szokásos körülmények között elvégzett ejtési kísérletekben a testek sebessége még távol van az állandósult sebességtől. (Nem lenne célszerű ejtőernyősök földetérési idejének mérhető adataiból következtetni

g

számértékére!) A végsebességek összehasonlításával történő érvelés hiányos megoldásnak tekinthető csupán.