Kezdőlap


Feladat:	3006. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Borsos Júlia , Gál Tamás , Kocsis Bence , Péterfalvi Csaba , Sánta Árpád
Füzet:	1997/április, 246. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: 3006. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a középső test kezdősebességét $v$ -vel és a továbbiakban valamennyi sebességet $v$ -vel megegyező irányban tekintsünk pozitívnak.
A $m$ tömegű test az első ütközés után $u$ sebességgel, a meglökött $M$ tömegű test pedig $V$ sebességgel kezd el mozogni (lásd az ábrát). A rugalmas ütközéseknél fennálló energia- és lendületmegmaradási törvények szerint

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m u^{2} + \frac{1}{2} M V^{2}, \\ illetve m v = m u + M V, \end{matrix} \end{matrix}

ahonnan az ütközés utáni sebességeket kifejezve:

\begin{matrix} u = \frac{m - M}{m + M} v, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} V = \frac{2 m}{m + M} v . \end{matrix}

(2)

m

tömegű test csak akkor ütközhet a másik (bal oldali) testtel is, ha

u < 0,

vagyis ha

m < M

. A második ütközés is az elsőhöz hasonlóan játszódik le (álló testnek ütközik egy

u

sebességű másik test). A

m

tömegű test új (

u^{*}

-gal jelölt) sebésségét a

(2)

egyenletből úgy számíthatjuk ki, hogy

v

helyébe

u

-t írunk:

\begin{matrix} u^{*} = \frac{m - M}{m + M} u = \frac{{(m - M)}^{2}}{{(m + M)}^{2}} v, \end{matrix}

(3).

A harmadik ütközés akkor következik be, ha

u^{*} > V .

Innen

(2)

és

(3)

felhasználásával, illetve pozitív számokkal való egyszerűsítés után a

\begin{matrix} M^{2} - 4 m M - m^{2} > 0 \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk. Ebből teljes négyzetté alakítás és gyökvonás után

| m + 2 M | < \sqrt[]{5} M

következik, ahonnan a keresett tömegarányra a

m / M < \sqrt[]{5} - 2 \approx 0, 24

megszorítást kapjuk.

Gál Tamás (Westtown School, Westtown, USA. III. o.t.) dolgozata alapján