Feladat: 3001. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Kacsuk Zsófia ,  Mátrai Tamás ,  Sipos András 
Füzet: 1997/április, 244. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sikkondenzátor, Térerősség és erő, Egyéb erőtörvény, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/szeptember: 3001. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kapcsoló 1-es állásánál a fólia és az I. lemez által alkotott síkkondenzátor (amely C=2ε0A/d kapacitású) U feszültségre töltődik fel. A fóliára tehát

Qf=2ε0AU/d(1)
(az I. lemezre pedig -Qf) töltés kerül.
Kapcsoljuk át most a kapcsolót a 2-es állásba, és határozzuk meg a kialakuló elektromos tereket abban a helyzetben, amikor a fémfólia már x távolságnyit elmozdult a II. lemez felé. Az ábra jelöléseit használva a következőket állíthatjuk. A két lemez között U feszültség van, tehát
E1(d2-x)-E2(d2+x)=U.(2)
Másrészt a fémfólia töltése a mozgás során mindvégig Qf, így Gauss tétele értélmében
(E1+E2)A=Qfε0.(3)
Az (1)‐(3) egyenletekből a térerősségek kiszámíthatók:
E1=(1+xd)2Ud,(4)
E2=-xd2Ud.(5)

a) A fóliára ható erőt (a síkkondenzátor lemezeire ható F=QE/2 erő mintájára) az alábbi képlet szerint számíthatjuk ki:
F(x)=QfE1-E22=2ε0AU2d2(1+2xd).(6)
A fóliára kezdetben F(0)=2ε0AU2d2=1,7710-3N erő hat, ez az erő vízszintes és az U feszültségű telep polaritásától függetlenül jobbra (az I. lemez felé) hat.
b) A fólia sebességét x=d/2 út megtétele után a munkatételből számíthatjuk ki. Az F(x) erő lineáris függvénye a megtett útnak, a munkavégzés szempontjából tehát az erő helyettesíthető a kezdeti és a végső érték számtani közepével. Eszerint
12mv2=F(d/2)+F(0)2d2,
ahonnan a fólia végsebessége (közegellenállás és egyéb súrlódási veszteségek nélkül):
v=3ε0AU2md=0,16ms.

c) A fólia mozgása (a helyről helyre változó, egyre növekvő gyorsulása miatt) eltér a középiskolában tanult valamennyi mozgástól. A mozgás teljes időtartamának pontos meghatározása felsőbb matematikai ismereteket (egy differenciálegyenlet megoldását, vagy a v(x) sebesség reciprokának x szerinti integrálását) igényelné. Erre azonban nincs szükség, hiszen csak becslést szeretnénk adni az időtartamra.
A fólia gyorsulása kezdetben amin=F(0)/m=1,8m/s2, a megtett úttal arányos mértékben nő és a legnagyobb értéke amax=3,6m/s2. A mozgás időtartama biztosan kisebb, mintha végig amin gyorsulással mozgott volna a fémfólia (ekkor 0,07s idő alatt tette volna meg az utat), és nagyobb az állandó amax gyorsulásnak megfelelő
időnél (0,05s-nál).
 Braun Gábor (Bp., Szent István Gimn., IV. o.t.) és
 
 Kacsuk Zsófia (Budaörs, Illyés Gy. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján