Kezdőlap


Feladat:	2996. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1997/február, 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/szeptember: 2996. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Ha az $A$ pontnál elvágjuk a rugót, a rúd a kezdetben álló és nem is gyorsuló $B$ pont körül gyorsuló forgómozgásba kezd (1. ábra).

Mivel az

m

tömegű,

l

hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomatéka a végpontjára vonatkoztatva

Θ = m l^{2} / 3,

a forgómozgás alapegyenletéből a szöggyorsulás kiszámítható:

\begin{matrix} m g \frac{l}{2} = Θ β, ahonnan β = \frac{3}{2} \frac{g}{l}, \end{matrix}

Eszerint a tömegközéppont gyorsulására

a_{T} = 3 g / 4

, az

A

pont gyorsulása pedig

a_{A} = 3 g / 2,

mindkettő függőlegesen lefelé irányul.
b) Ha a

B

pontnál elvágjuk a fonalat, a rúdra a nehézségi erő és a rugó által kifejtett erő hat. Ez utóbbi

m g / 2

nagyságú, hiszen a rugóerő a rugó megnyúlásától függ, a rugó pedig kezdetben még ugyanolyan hosszú, mint az elvágás előtt volt (2. ábra).

A rúd tömegközéppontja most az eredő

m g - m g / 2

erő hatására

a_{T} = g / 2

gyorsulással fog lefelé mozogni. A forgómozgás egyenletét a tömegközéppontra felírva

\begin{matrix} \frac{m g}{2} \cdot \frac{l}{2} = \frac{1}{12} m l^{2} \cdot β, ahonnan β = 3 \frac{g}{l} . \end{matrix}

(Vigyázat: az

A

pont most maga is gyorsul, emiatt nem tekinthető pillanatnyi forgási középpontnak!) A tömegközépponthoz képest a végpontok

l β / 2 = 3 g / 2

gyorsulással mozognak, az

A

pont tehát összességében

a_{A} = - g

gyorsulással mozog (tehát felfelé), a

B

pont pedig

a_{B} = 2 g

gyorsulással (lefelé).
Érdekes, hogy a gyorsulások kiszámításánál a rúd hosszának számértékére nem volt szükségünk.

Több dolgozata alapján

Megjegyzés. Meglepőnek tűnhet, hogy a rúd kezdeti gyorsulása függ attól, hogy a fonalat vagy a rugót vágjuk el, hiszen a fonál is tekinthető egy (igen nagy rugóállandójú) rugónak. A látszólagos ellentmondás feloldását az időtartamok pontosítása, a ,,kezdeti'' gyorsulás fogalmának átgondolása adhatja meg. A megoldás során kihasználtuk, hogy a rugóerő nem változhat meg pillanatszerűen, csak bizonyos idő alatt, mialatt a rugó hossza is meg tud változni. Ugyanakkor a fonálerőre nem tettünk ilyen kikötést, annak nagyságát ,,azonnal'' megváltozni képesnek tételeztük fel. A valóságban a fonálerő változását is a fonál hosszának kicsiny változása okozza, ehhez pedig idő kell, de ez az idő sokkal rövidebb, mint a rugónál, emiatt minden reális esetben figyelmen kívül hagyhatjuk.