Kezdőlap


Feladat:	2991. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gyukics Mihály , Kurucz Zoltán , Tóth Gábor Zsolt
Füzet:	1997/február, 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/május: 2991. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A félgömbre csak függőleges irányú erők hatnak, ezért tömegközéppontja függőlegesen fog mozogni. Jelöljük a tömegközéppont elmozdulását $x$ -szel, sebességét $v$ -vel, a szögsebességet pedig $ω$ -val (1. ábra). A tömegközéppont és a síkkal érintkező pont távolsága

\begin{matrix} l = \sqrt[]{r^{2} + s^{2}} = \sqrt[]{r^{2} + {(\frac{3}{8} r)}^{2}} = \frac{\sqrt[]{73}}{8} r, \end{matrix}

(1)

a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték pedig

\begin{matrix} Θ = \frac{2}{5} m r^{2} - m {(\frac{3}{8} r)}^{2} = \frac{83}{320} m r^{2} . \end{matrix}

(2)

(Felhasználtuk, hogy homogén félgömbre az 1. ábrán látható

s

távolság

3 r / 8

, továbbá a Steiner-tételt. Vigyázat: homogén félgömb tehetetlenségi nyomatéka a gömb középpontjára vonatkoztatva

\frac{2}{5} m r^{2}

, ha

m

a félgömb tömege.)
Az energiamegmaradás tétele szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} Θ ω^{2} = m g l (1 - cos φ), \end{matrix}

(3)

a kényszerfeltételek pedig

\begin{matrix} \begin{matrix} x = l (1 - cos φ) & (a félgömb legalsóPpontja a síkon kell maradjon), & (4) \\ v = l ω sin φ & (aP'pont függőleges sebessége nulla kell legyen). & (5) \\ A tömegközéppontagyorsulása és aβszöggyorsulás közötti kapcsolat: \\ a = β l sin φ + l ω^{2} cos φ & (aPpont függőleges gyorsulása nulla). & (6) \end{matrix} \end{matrix}

(Megjegyezzük, hogy (5) és (6) megkapható a (4) egyenlet deriválásából is.)
Az (5) és (3) egyenletekből a szögsebességre

\begin{matrix} ω (φ) = \sqrt[]{\frac{g}{r} \cdot \frac{80 \sqrt[]{73} (1 - cos φ)}{448 - 365 cos^{2} φ}} \end{matrix}

(7)

adódik (2. ábra), a szöggyorsulás pedig (6) alapján (3. ábra)

\begin{matrix} β (φ) = \frac{g}{r} 40 \sqrt[]{73} sin φ \frac{365 cos^{2} φ - 730 cos φ + 448}{{(365 sin^{2} φ + 83)}^{2}} . \end{matrix}

(8)

A talajnál ható

N

erőt a forgómozgás egyenletéből kaphatjuk meg.

\begin{matrix} N = \frac{Θ β}{l sin φ} = m g \frac{83 (448 - 730 cos φ + 365 cos^{2} φ)}{{(365 {sin}^{2} φ + 83)}^{2}} . \end{matrix}

(9)

A 4. ábrán látható, hogy a mozgás teljes

0 \leq φ \leq arc ctg \frac{3}{8} \approx 70^{\circ}

tartományában

N > 0

, tehát a félgömb nem emelkedik fel a síkról.

Gyukics Mihály (Szolnok, Varga K. Gimn., IV. o.t.)

Kurucz Zoltán (Szolnok, Varga K. Gimn., IV. o.t.) és

Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., IV. o.t.) megoldása alapján.