Kezdőlap


Feladat:	2968. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Méder Áron
Füzet:	1997/január, 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev test térbeli mozgása, Centrifugális erő, Egyéb párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: 2968. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Vizsgáljuk a mozgást a pálcával együtt forgó vonatkoztatási rendszerben. Ebben a rendszerben a pálcára vízszintesen kifelé mutató centrifugális erő hat, melynek nagysága (lásd az FN. 2852. feladat megoldasát a KöMaL 1995. évi 5. számában):

\begin{matrix} F = m ω^{2} \frac{l}{2} sin α, \end{matrix}

támadáspontja pedig a pálca alsó harmadánál van. A pálca tömegközéppontjában hat az

m g

nehézségi erő (1. ábra).
A pálca ebben a rendszerben nyugalomban van, így a csuklóra (

O

) vonatkoztatott forgatónyomaték nulla:

\begin{matrix} F \cdot \frac{2}{3} \cdot l cos α - m g \frac{l}{2} sin α = 0. \end{matrix}

F

fenti alakját behelyettesítve, majd

ω

-t kifejezve:

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{3 g}{2 l cos α}} . \end{matrix}

b) Vizsgáljuk a pálca felső felét továbbra is a forgó koordináta-rendszerben. A csuklónál ható erőt függőleges és vízszintes komponensekre bonthatjuk fel. A vízszintes komponens nagysága

F

-fel, a függőlegesé

m g

-vel egyezik meg, mivel az egész pálca nyugalomban van, és így a rá ható erők eredője nulla (2. ábra). Az FN. 2852. feladat gondolatmenetét a pálca felső felére is alkalmazhatjuk. Így a felső félre ható centrifugális erő nagysága

F / 4

, támadáspontja a felső fél alsó harmadolópontjában van. A felső fél középpontjában hat az

m g / 2

nehézségi erő. A pálca felső fele nyugalomban van, így a rá ható forgatónyomatékok összege nulla. Írjuk fel a forgatónyomaték egyenletet a pálca felezőpontjára (

S

\begin{matrix} - m g \frac{l}{2} sin α + F \frac{l}{2} cos α - \frac{F}{4} \frac{l}{6} cos α + \frac{m g}{2} \frac{l}{4} sin α + M = 0. \end{matrix}

Itt

M

az a forgatónyomaték, amivel a pálca alsó fele hat a felsőre. Az egyenletbe behelyettesítve

F

-nek és

ω

-nak az a) pontból ismert értékét

\begin{matrix} M = \frac{1}{32} m g l sin α \end{matrix}

adódik. Ugyanekkora (de ellentétes irányú) forgatónyomatékkal hat a pálca felső fele az alsóra.

Méder Áron (Bp. Táncsics M. Gimn., II. o.t.) megoldása alapján

Megjegyzés. Az FN. 2852. feladat megoldásában találhatóhoz hasonló gondolatmenettel kiszámíthatjuk, hogy a pálca alsó felére ható centrifugális erő nagysága

m ω^{2} \frac{3 l}{8} sin α

, támadáspontja pedig az alsó végtől számított

2 / 9

résznél van. Ezek után az alsó fél pálcára is felírhatjuk a forgatónyomaték egyenletet, s ebből is megkaphatjuk a fenti eredményt.