Kezdőlap


Feladat:	2948. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely
Füzet:	1996/október, 440. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Newton-féle gravitációs erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: 2948. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hanyagoljuk el a Föld forgását! A Földet átszelő alagútban a vonatot a $G$ gravitációs erő és az alagút által kifejtett $N$ tartóerő eredője, azaz a gravitációs erő alagút irányú $F$ összetevője fog hatni (1. ábra). A gravitációs ,,térerősség'' egy homogén gömb belsejében, a középponttól $x$ távolságra:

\begin{matrix} g (x) = - \frac{γ M}{R^{3}} x, \end{matrix}

ahol

γ

a gravitációs állandó,

M

a Föld tömege,

R

pedig a sugara. (A negatív előjel arra utal, hogy az alagútban haladó vonatra a Föld középpontja felé mutató erő hat.)
Jelölje

O

a Föld középpontját,

T

a Föld középpontjából az alagútra állított merőleges talppontját,

K

Kolozsvárt,

E

pedig az Északi-sarkot.

A

jelentse

T

és

K

pontok távolságát (ez megegyezik a

T E

távolsággal),

y

pedig a vonat és a

T

pont távolságát (2. ábra).
A térerősség alagút irányú komponense:

\begin{matrix} g_{a} = - \frac{γ M}{R^{3}} x \frac{y}{x} = - \frac{γ M}{R^{3}} y . \end{matrix}

Eszerint a vonatra a

T

ponttól mért távolsággal egyenesen arányos erő hat, ezért a vonat harmonikus rezgőmozgást fog végezni. A rezgőmozgás körfrekvenciája

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{- \frac{g_{a}}{y}} = \sqrt[]{\frac{γ M}{R^{3}}} . \end{matrix}

A vonat az Északi-sarkra a fél periódusidő alatt fog eljutni:

\begin{matrix} t = \frac{π}{ω} = π \sqrt[]{\frac{R^{3}}{γ M}} . \end{matrix}

Az ismert adatokat behelyettesítve megkapjuk, hogy a vonat 2534 másodperc (kb. 42 perc) alatt jut el az Északi-sarkra. Az idő meghatározásánál nem használtuk fel, hogy Kolozsvár a Föld mely pontján fekszik. A Föld bármely két pontja között ‐ a feladatban szereplő feltételek teljesülése esetén ‐ ennyi ideig tartana az út.
A maximális sebességet a

v_{{max}_{}^{}} = A ω

képletből számíthatjuk ki.

\begin{matrix} v_{{max}_{}^{}} = A \sqrt[]{\frac{γ M}{R^{3}}} . \end{matrix}

Behelyettesítve az adatokat, és felhasználva, hogy Kolozsvár a

47^{\circ}

szélességi körön fekszik (

A = R \cdot sin \frac{90^{\circ} - 47^{\circ}}{2} \approx 2353

km),

v_{{max}_{}^{}} = 2920 m/s

adódik.

Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o.t.)