Kezdőlap


Feladat:	2937. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bérczi Gergely
Füzet:	1996/május, 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes körmozgás, Szinkron-műhold (szinkronpálya), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: 2937. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a Földet $R$ sugarú, $M$ tömegű gömbnek, és jelöljük a keresett magasságot $h$ -val! A szinkronpályán keringő műhold a Föld középpontjától $s$ távolságban $F = f \frac{m M}{s^{2}}$ erő hatására $a = s ω^{2}$ gyorsulással mozog, ahol $m$ a műhold tömege, $ω$ pedig a szinkronműhold keringési szögsebessége, ami a Föld $ω = 2 π / (1 nap)$ forgási szögsebességével egyenlő. A Newton-egyenlet szerint

\begin{matrix} F = m a, azaz s = \sqrt[3]{\frac{f M}{4 π^{2}} T^{2}} . \end{matrix}

Az antenna akkor képes venni a műhold adását, ha az ábrán látható

C M

egyenes ,,nem ütközik bele'' a Földbe. Határesetben

C M

érinti a Földet, ennek feltétele pedig az

O A M

és a

C A O

háromszögek hasonlóságából

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{O C}{O A} = \frac{O M}{M A}, vagyis \frac{R + h}{R} = \frac{s}{\sqrt[]{s^{2} - R^{2}}} . \\ Innen h = \frac{1}{\sqrt[]{1 / R^{2} - 1 / s^{2}}} - R, \end{matrix} \end{matrix}

ami az

R = R_{közepes} = 6,37 \cdot 10^{3}

km és

s = 4,22 \cdot 10^{4}

km adatokkal

h \approx 74

km-nek adódik.

Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o.t.)

Megjegyzés. Ha figyelembe akarjuk venni a Föld lapultságát, vagyis azt a tényt, hogy a pólusokhoz tartozó sugár

R_{p} \approx 6356

km kicsit kisebb, mint az egyenlítői

R_{e} \approx 6378

km sugár, az ábrán látható kört és a háromszögeket

\begin{matrix} \frac{R_{e} - R_{p}}{R_{e}} \approx \frac{1}{300} \end{matrix}

arányban kicsinyítenünk kell a Föld forgástengelye, tehát az

O C

egyenes mentén. Ekkor a

h

magasság is

1 / 300

részével, tehát

240

m-rel csökkentendő, ez azonban a számolás pontosságához viszonyítva elhanyagolható.