Kezdőlap


Feladat:	2932. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pólik Imre
Füzet:	1996/május, 308. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: 2932. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A léc elengedés után elkezd kicsúszni a két szög közül, mert $tg α = tg 45^{\circ} = 1 > μ = 0,25$ . Az 1. ábra a lécre ható erőket ábrázolja. Érdemes a léc mozgását az ábrán látható (a szögek által meghatározott irányítású) koordinátarendszerben nyomon követni. Legyen a tömegközéppont (TKP) origóból mért változó távolsága $x (t)$ . A TKP mozgásegyenletei:

\begin{matrix} \begin{matrix} m a_{x} = m g sin α - μ N_{A} - μ N_{B}, & (1) \\ m a_{y} = N_{A} - m g cos α - N_{B} = 0. & (2) \end{matrix} \end{matrix}

A léc nem forog, így a tömegközéppontjára nézve az erők forgatónyomatékainak összege nulla.

\begin{matrix} N_{B} (x + d) - N_{A} x = 0. \end{matrix}

(3)

(2) és (3) alapján

\begin{matrix} N_{A} = (1 + \frac{x}{d}) m g cos α; N_{B} = \frac{x}{d} cos α, \end{matrix}

(4)

és innen (1) felhasználásával

\begin{matrix} m a_{x} = - \frac{2 μ m g cos α}{d} (x - \frac{sin α - μ cos α}{2 μ cos α} d) . \end{matrix}

Ez egy

\begin{matrix} m a_{x} = - D (x - x_{0}) \end{matrix}

alakú egyenlet, amely az

x = + x_{0}

koordinátájú pont körüli harmonikus rezgőmozgás egyenlete.
a) A léc tehát harmonikus rezgőmozgást végez az

\begin{matrix} x_{0} = \frac{sin α - μ cos α}{2 μ cos α} d = 15 cm \end{matrix}

(5)

koordinátájú pont körül

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{D}{m}} = \sqrt[]{\frac{2 μ g cos α}{d}} = 5,95 \frac{1}{s} \end{matrix}

(6)

körfrekvenciával. Kezdetben a léc TKP-ja az

A

pontnál van, és a léc áll (

x (0) = 0

és

v_{x} (0) = 0

), vagyis a TKP a harmonikus rezgőmozgás egy szélső helyzetéből indul. Így a rezgőmozgás amplitudója (5) szerint:

\begin{matrix} A = x_{0} = 15 cm . \end{matrix}

(7)

Amikor a léc TKP-ja egy fél periódus után egy másik szélső helyzetbe kerül, megáll a léc, és nem indul el felfelé (a súrlódási erők nem húzzák fel a lécet újra). A léc TKP-ja a 2. ábra szerint mozog. Megállásig a megtett út (7) szerint:

2 A = 30

cm. Megálláskor a léc a 3. ábrán vázolt helyzetbe kerül. Látható, hogy ekkor a

B

szög felett még 10 cm hossz kilóg, tehát a léc nem tud kicsúszni a szögek közül, hanem beszorul.
b) A léc legnagyobb sebességét elindulás után egy negyed periódus múlva éri el, amikor átmegy a rezgőmozgás egyensúlyi pontján (tehát az

x_{0} = 15

cm koordinátájú ponton). Ekkor sebessége (6) és (7) alapján:

\begin{matrix} v_{{max}_{}^{}} = ω A = 89,2 \frac{cm}{s} . \end{matrix}

c) A léc mozgásideje a fentiek szerint a harmonikus rezgőmozgás fél periódusa, (6) alapján:

\begin{matrix} \frac{T}{2} = \frac{π}{ω} = 0,53 s . \end{matrix}

Pólik Imre (Pannonhalma, Bencés Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján