Kezdőlap


Feladat:	2930. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Perényi Márton , Várkonyi Péter
Füzet:	1996/május, 307. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Gömbkondenzátor, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: 2930. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Mivel $Q_{2} = Q_{3} = - Q_{1}$ , használhatjuk a $Q_{1} = Q$ ; $Q_{2} = Q_{3} = - Q$ jelöléseket. Egy tetszőleges töltésrendszer elektromos mezőjének energiája megegyezik a töltésrendszer kialakításához szükséges munkával. Tekintsük a három fémgömböt egyelőre töltetlenül, majd töltsük fel őket. A két belső gömb össztöltése 0, tehát úgy tölthetjük fel őket, hogy az egyikről töltést viszünk a másikra. Így egy $Q$ töltésű, $r_{1}$ és $r_{2}$ sugarú gömbkondenzátort kapunk, amelynek energiája:

\begin{matrix} W_{12} = E_{12} = \frac{Q^{2}}{8 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}) . \end{matrix}

Mivel a két belső gömb össztöltése nulla, így a 2. gömbön kívül | Gauss törvénye értelmében | nulla az elektromos térerősség. A 3. gömb feltöltését tehát nem zavarja az első kettő elektromos tere, így az egyszerűen egy

- Q

töltés,

r_{3}

sugarú gömbkondenzátor, amelyre

\begin{matrix} W_{3} = E_{3} = \frac{{(- Q)}^{2}}{8 π ε_{0}} \frac{1}{r_{3}} . \end{matrix}

Így tehát a teljes munka, vagyis a töltésrendszer összenergiája:

\begin{matrix} E = W = W_{12} + W_{3} = \frac{Q^{2}}{8 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}) = 1,71 \cdot 10^{- 4} J . \end{matrix}

b) A végtelen távoli ponthoz viszonyított potenciálkülönbség azzal a munkával egyezik meg, amelynek segítségével egységnyi pozitív töltést nagyon távolról a kérdéses pontba hozhatunk. A három fémgömb elektromos erőterének összege (szuperpozíciója) adja meg az eredő elektromos mezőt, így a munkavégzés is az egy-egy gömb esetében kiszámolható munkavégzések összege. Ismeretes, hogy egy

R

sugarú gömbkondenzátor kapacitása

C = 4 π ε_{0} R

. Eszerint a

- Q

töltésű,

r_{3}

sugarú gömb potenciálja a végtelenhez képest

\begin{matrix} U_{3} = \frac{- Q}{C} = - \frac{Q}{4 π ε_{0} r_{3}} . \end{matrix}

A gömb belsejében nincs elektromos mező, tehát a gömb középpontjában is ugyanekkora lenne az elektromos potenciál, ha csak az

r_{3}

sugarú gömb lenne jelen. Hasonlóan a 2. gömb által kialakított potenciál

U_{2} = - Q / (4 π ε_{0} r_{2})

, a legbelsőé

U_{1} = + Q / (4 π ε_{0} r_{1})

, az eredő potenciál pedig a koncentrikus gömbök középpontjában, s a legbelső gömb bármely pontján

\begin{matrix} U = \frac{Q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{3}}) = 12,3 kV . \end{matrix}

Perényi Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) és

Várkonyi Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján