Kezdőlap


Feladat:	2928. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Földesi Máté , Jakabfy Tamás , Kiss Ádám , Méder Áron , Perényi Márton , Tóth Gábor Zsolt , Varga Péter , Várkonyi Péter
Füzet:	1996/május, 306. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb nyújtás, összenyomás, Ingamozgás, Síkinga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: 2928. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A fonálingát kezdeti hossza legyen $l_{0}$ . Ha minden periódus után $Δ l$ -lel megnyúlik a damil, akkor az $n$ -edik lengéskor már

\begin{matrix} l_{n} = l_{0} + (n - 1) Δ l \end{matrix}

hosszúságú lesz. Ha az utolsó lengés utánra 4%-kal nyúlik meg a damil, és ez az utolsó lengés az

N

-edik, akkor az azt jelenti, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} l_{N + 1} = l_{0} + N Δ l = l_{0} \cdot 1,04, \\ azaz Δ l = 0,04 \frac{l_{0}}{N} . \end{matrix} \end{matrix}

l_{0}

hosszúságú állapotban az inga lengésideje legyen

t_{0} = 2

s. Ekkor az első lengés ideje még

\begin{matrix} t_{1} = t_{0} = 2 s . \end{matrix}

Ismert, hogy a fonálinga lengésideje a fonál hosszának gyökével arányos, így az

n

-edik lengés ideje:

\begin{matrix} t_{n} = t_{0} \sqrt[]{\frac{l_{0} + (n - 1) Δ l}{l_{0}}} . \end{matrix}

Mivel

(n - 1) Δ l ≪ l_{0}

(legfeljebb négy század az arány), azért alkalmazhatjuk az 1-hez közeli számokra érvényes

\sqrt[]{1 + ε} \approx 1 + ε / 2

közelítést. Eszerint

\begin{matrix} t_{n} = t_{0} \sqrt[]{\frac{l_{0} + (n - 1) Δ l}{l_{0}}} \approx t_{0} + t_{0} (n - 1) \frac{Δ l}{2 l_{0}} . \end{matrix}

A lengések összideje

\begin{matrix} t_{1} + t_{2} + ... + t_{N} = N t_{0} + t_{0} \frac{Δ l}{2 l_{0}} [1 + 2 + ... + (N - 1)] = N t_{0} + t_{0} \frac{Δ l}{2 l_{0}} \frac{(N - 1) N}{2} = 720 s . \end{matrix}

Figyelembe véve még a

Δ l

-re vonatkozó eredményünket,

\begin{matrix} N t_{0} + t_{0} \frac{0,04 (l_{0} / N)}{2 l_{0}} \frac{N (N - 1)}{2} = t_{0} (1,01 N - 0,01) = 720 s, \end{matrix}

ahová

t_{0} = 2

s-ot behelyettesítve

\begin{matrix} N = 356,44 \approx 356 \end{matrix}

adódik. Ennyit lengett tehát az inga az eredeti hosszának megfelelő 360 lengés helyett.

Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján