Kezdőlap


Feladat:	2918. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tóth Gábor Zsolt
Füzet:	1996/november, 504. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összetartó erők eredője, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: 2918. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a munkás a vízszintessel $α$ szöget bezáró $F$ nagyságú erőt fejt ki a ládára, és a talaj által kifejtett nyomóerőket, valamint súrlódási erőket az 1. ábrán látható módon jelöljük, akkor a következő egyenleteket írhatjuk fel a láda megindulásának határhelyzetében:

\begin{matrix} \begin{matrix} G_{1} + F sin α = N_{1} & (a munkás függőlegesen nem gyorsul), & (1) \\ F cos α = S_{1} & (a munkás vízszintesen nem gyorsul), & (2) \\ S_{1} \leq μ_{1} N_{1} & (a munkás cipője nem csúszik meg), & (3) \\ G_{2} = N_{2} + F sin α & (a láda nem emelkedik fel), & (4) \\ F cos α = S_{2} & (a láda vízszintesen nem gyorsul), & (5) \\ S_{2} = μ_{2} N_{2} & (a láda éppen a megcsúszás határán van). & (6) \end{matrix} \end{matrix}

A (4)‐(6) egyenletekből kifejezhetjük

F

-t

α

függvényében és megvizsgálhatjuk, hogy mekkora szögnél lesz

F (α)

minimális.

\begin{matrix} F (α) = \frac{μ_{2} G_{2}}{cos α + μ_{2} sin α} \end{matrix}

(7)

Ez a kifejezés akkor a legkisebb, ha a nevező a legnagyobb. A szélsőérték differenciálszámítással vagy geometriai megfontolással határozhatjuk meg. Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget

μ_{2}

és 1 hosszúságú befogókkal és döntsük meg a vízszinteshez képest

α

szöggel. A 2. ábráról leolvasható, hogy az

A

pont és az

e

egyenes távolsága éppen (7) jobb oldalának nevezője, s ez a mennyiség legfeljebb

\sqrt[]{1 + μ_{2}^{2}}

lehet. A szélsőértékhez tartozó szög:

α = ε = arc tg μ_{2}

éppen a

μ_{2}

súrlódási együtthatóhoz tartozó ,,súrlódási határszög''. Eszerint

F

legalább

\begin{matrix} F_{{min}_{}^{}} = \frac{μ_{2} G_{2}}{\sqrt[]{1 + μ_{2}^{2}}} \end{matrix}

(8)

kell legyen, ami a feladat számértékeivel 546 N és

α = 21, 8^{\circ}

.
Eddig nem vizsgáltuk annak a feltételét, hogy a munkás lába nem csúszik meg. Az (1)‐(2) egyenleteket (3) egyenlőtlenséggel összevetve az

α

szögre a

\begin{matrix} tg α \geq \frac{G_{2} μ_{2} - G_{1} μ_{1}}{μ_{1} μ_{2} (G_{1} + G_{2})} \end{matrix}

(9)

megszorítást kapjuk. Ha

μ_{1} = 0,6

vagy

0,7

, akkor (9) feltétel az optimális

α = 21, 8^{\circ}

mellett teljesül. Ha viszont

μ_{1} = μ_{2} = 0,4

, akkor (9) szerint

α > 42, 3^{\circ}

, az ehhez tartozó legkisebb erő pedig (7) alapján:

F_{{min}_{}^{}} = 583

Tóth Gábor Zsolt (Bp., Árpád Gimn., IV. o.t.)