Kezdőlap


Feladat:	2898. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Elek Péter , Horváth Péter , Kovács Baldvin , Kovács Krisztián , Tóth Gábor Zsolt
Füzet:	1996/március, 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Görbevonalú mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/május: 2898. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy test akkor csúszik egyenletesen lefele egy lejtőn, ha az $m g$ súly lejtőirányú komponense és a súrlódási erő kiegyenlítik egymást:

\begin{matrix} \begin{matrix} m g sin α & = μ m g cos α, \\ vagyis μ & = tg α . & (1) \end{matrix} \end{matrix}

Ha a testet vízszintesen indítjuk el, elegendően hosszú idő múlva a lejtővel párhuzamosan lefele egyenletesen fog mozogni. Az ábrán kiszemeltük a pálya egy pontját, amelyben a test

v

sebessége

β

szöget zár be a lejtő aljával párhuzamos

x

tengellyel. Írjuk fel a test gyorsulásának érintő irányú (tehát

v

-vel párhuzamos) komponensét,

a_{é}

-t, és az

y

irányú komponensét,

a_{y}

-t:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{é} = g sin α sin β - μ g cos α, \\ a_{y} = g sin α - μ g cos α sin β . \end{matrix} \end{matrix}

(1) felhasználásával

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{é} = g sin α (sin β - 1), \\ a_{y} = g sin α (1 - sin β) . \end{matrix} \end{matrix}

Látjuk, hogy

a_{é} + a_{y} = 0

, vagyis

\begin{matrix} v + v_{y} = állandó . \end{matrix}

(2)

Kezdetben

v = v_{0}

és

v_{y} = 0

, elegendően hosszú idő múlva pedig

v = v_{y}

. Tehát (2) alapján

\begin{matrix} v_{0} + 0 = v + v, \end{matrix}

ahonnan a keresett végsebesség:

v = v_{0} / 2

Több dolgozat alapján

Megjegyzés. A lejtőn való mozgás

x

és

y

irányú komponenseit jellemző differenciálegyenleteket közelítően (kis lépések módszerével) számítógéppel is meg lehet oldani.

v_{0} = 2 m / s

α = 30^{\circ}

μ = tg 30^{\circ}

és

g = 10 m / s^{2}

adatokat választva, és a változásokat

Δ t = 0,1

s időközönként kinyomtatva, de a számítást sokkal kisebb lépésenként számolva az alábbi eredményeket kapjuk:

\begin{matrix} t(s) & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 & 1,0 & 1,1 & 1,2 & 1,3 \\ x(m) & 0,00 & 0,17 & 0,30 & 0,39 & 0,45 & 0,48 & 0,51 & 0,52 & 0,52 & 0,53 & 0,53 & 0,53 & 0,53 & 0,53 \\ y(m) & 0,00 & 0,02 & 0,08 & 0,16 & 0,26 & 0,35 & 0,45 & 0,55 & 0,65 & 0,75 & 0,85 & 0,95 & 1,05 & 1,15 \\ v_{x}(m / s) & 2,00 & 1,50 & 1,06 & 0,69 & 0,44 & 0,27 & 0,16 & 0,10 & 0,06 & 0,04 & 0,02 & 0,01 & 0,01 & 0,00 \\ v_{y}(m / s) & 0,00 & 0,06 & 0,69 & 0,88 & 0,95 & 0,98 & 0,99 & 1,00 & 1,00 & 1,00 & 1,00 & 1,00 & 1,00 & 1,00 \end{matrix}

Érdekes, hogy a

v_{0} / 2

végsebesség milyen rövid idő alatt valósul meg.

Kovács Krisztián (BME, I. éves hallgató)