Kezdőlap


Feladat:	2891. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kovács Baldvin
Füzet:	1996/március, 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletesen változó körmozgás, Görbevonalú mozgás lejtőn, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/április: 2891. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Amíg az $m_{1}$ tömegű test a deszkával együtt mozog (nem csúszik meg), a függőleges síkban $β$ szöggyorsulással $\frac{L}{2}$ sugarú körmozgást végez. Írjuk fel Newton II. törvényét a sugárirányú és az érintőirányú komponensekre, feltételezve, hogy a tapadási súrlódási erő az ábrán látható módon felfele hat, és így a test lecsúszását gátolja:

\begin{matrix} \begin{matrix} m_{1} g sin φ - F_{t} & = m_{1} \cdot \frac{L}{2} ω^{2}, & (1) \\ N - m_{1} g cos φ & = m_{1} \cdot \frac{L}{2} β . & (2) \end{matrix} \end{matrix}

Ha feltételezzük, hogy a

t = 0

időpillanatban

φ = 0

és

ω = 0

, akkor a szögsebesség és a szög időfüggése

ω = β t

és

φ = \frac{L}{2} β t^{2}

, ahonnan

\begin{matrix} ω^{2} = 2 β φ . \end{matrix}

(3)

φ = 45^{\circ}

-nál

F_{t} = 0

, ekkor (1) alapján

ω^{2} = \frac{2 g}{L} sin \frac{π}{4}

. Innen (3) felhasználásával:

\begin{matrix} β = \frac{g sin (π / 4)}{L \cdot (π / 4)} \approx 11 s^{- 1} . \end{matrix}

b) A meg nem csúszás feltétele:

F_{t} \leq μ N

. Ebből (1) és (2) alapján az alábbi egyenlőtlenséget kapjuk:

\begin{matrix} μ \geq \frac{g sin φ - β φ L}{g cos φ + β \frac{L}{2}} . \end{matrix}

Ha ebben

β

-ra a fentebb kiszámolt numerikus értéket helyettesítjük be, a

\begin{matrix} μ \geq \frac{sin φ - 0,9 φ}{cos φ + 0,45} \end{matrix}

feltétel adódik. Az egyenlőtlenség jobb oldalán álló kifejezés

φ = 0

és

φ = 45^{\circ}

esetében zérus, a

φ \in (0, 45^{\circ})

intervallumban pedig a számláló pozitív (tehát a súrlódási erő irányát jól vettük fel).
A jobb oldal maximumhelyére jó becslést kapunk, ha

φ

-re az átlagos

45^{\circ} / 2 = 22, 5^{\circ}

értéket helyettesítjük be, innen

μ_{{min}_{}^{}} \approx 0,02

adódik.

Kovács Baldvin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Sokan a maximumhelyet számítógépes ábrázolással határozták meg. Kiderül, hogy a maximumhely kb.

27^{\circ}

-nál van, s a megcsúszás megakadályozásához szükséges legkisebb súrlódási együttható:

μ_{{min}_{}^{}} = 0,022