Kezdőlap


Feladat:	2882. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Elek Péter , Gyukics Mihály , Horváth Péter , Kovács Baldvin , Méder Áron , Németh Tibor , Salk Miklós , Tóth Gábor Zsolt
Füzet:	1996/február, 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Merev testek ütközése, Csúszó súrlódás, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: 2882. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételezzük fel, hogy a kezdetben $v$ sebességgel mozgó rúd is homogén tömegeloszlású (bár ez a feladat szövegéből nem derül ki). Mivel az ütközést pillanatszerűnek tekintjük, a súrlódási erő hatását az ütközés folyamata alatt nem kell számításba vennünk. Az ütközéskor a függőleges tengelyénél erőlökés éri a rendszert, emiatt a rudak összimpulzusa nem marad változatlan, mivel azonban a tengelyénél ható erőnek nincs forgatónyomatéka, a rendszer teljes perdülete (impulzusnyomatéka) az ütközés során a tengelyre vonatkoztatva állandó kell maradjon.
Kezdetben az $m$ tömegű, $v$ sebességű rúd $N = m v \cdot (L / 2)$ perdülettel rendelkezett ( $L / 2$ a tömegközéppont pályájának távolsága a forgástengelytől). Az ütközés után a $2 m$ tömegű $Θ = 2 m \cdot L^{2} / 3$ tehetetlenségi nyomatékú összetapadt rúdpár $ω_{0}$ szögsebességgel kezd forogni, s a perdületmegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} m v \frac{L}{2} = 2 m \cdot \frac{L^{2}}{3} ω_{0}, azaz ω_{0} = \frac{3}{4} \frac{v}{L} . \end{matrix}

Az ütközés után a súrlódási erő forgatónyomatéka miatt a rudak szögsebessége csökken, majd a rudak megállnak. A rudak és az asztal között

2 m g

a nyomóerő, tehát a súrlódási erő

S = 2 μ m g

. (Feltételezzük, hogy a rúd csapágya függőleges irányú erőt nem tud kifejteni a rúdra; függőleges arányban nem ,,tartja'' azt.) A súrlódási erő eloszlása a rúd mentén ugyanolyan, mint a nyomóerő eloszlása.
a) A súrlódási erőnek akkor lesz a legnagyobb forgatónyomatéka, ha a nyomóerő (és emiatt a súrlódási erő is) a rudak külső végére koncentrálódik. Ilyenkor az

S

erő erőkarja

L

, a forgatónyomaték

M = S L = 2 μ m g L

, a rendszer szöggyorsulása pedig

\begin{matrix} β = - \frac{M}{Θ} = - \frac{2 μ m g L}{\frac{1}{3} 2 m L^{2}} = - 3 \frac{μ g}{L} . \end{matrix}

ω = ω_{0} + β t = 0

egyenletből a megállásig eltelő időre

\begin{matrix} t = - \frac{ω_{0}}{β} = \frac{v}{4 μ g}, \end{matrix}

a szögelfordulásra

\begin{matrix} α = ω_{0} t + \frac{β}{2} t^{2} = \frac{3}{32} \frac{v^{2}}{μ L g} \approx 9,4 radián \end{matrix}

adódik; ez

\frac{α}{2 π} \approx 1,5

fordulatnak felel meg.
b) Ha a nyomóerő (és a súrlódási erő) a rudak mentén egyenletesen oszlik el, a súrlódási erő forgatónyomatéka a fentebb számítottnak fele lesz. Emiatt a szöggyorsulás abszolút értéke is fele, a megállásig megtett fordulatok száma pedig kétszerese az a) részben számítottnak. Az egyenletesen felfekvő rudak tehát kb. 3 fordulatot tesznek meg a megállásig.

Horváth Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) és

Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján