Kezdőlap


Feladat:	2878. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth Péter
Füzet:	1996/január, 56. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Síkinga, Impulzusmegmaradás törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: 2878. fizika feladat

Egy

M

tömegű kisgyerek hintán ül, és (fonálingaként)

T

periódusidejű,

A

amplitúdójú lengéseket végez. Mozgásának bizonyos fázisában az egyik társa vízszintesen egy

m

tömegű,

v_{0}

sebességű labdát dob neki, amit ő el is kap és magánál tart. Számítsuk ki (vagy szerkesszük meg), hogy mekkora lesz a hinta legnagyobb kitérése a labda elkapása után. (Feltételezhetjük, hogy a hinta szögkitérése mindvégig kicsi.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a hinta szögkitérése mindvégig kicsi, a gyerek mozgása harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető, melynek az egyensúlyi helyzettől mért kitérését és sebességét a következő képletek írják le:

\begin{matrix} \begin{matrix} x & = A \cdot sin (φ_{0} + ω t), \\ v & = A \cdot ω \cdot cos (φ_{0} + ω t) . \end{matrix} \end{matrix}

Az ütközés pillanatában a mozgás fázisát jelölje

φ

. A gyerek és a labda ütközés utáni közös sebességét

v'

-vel jelölve felírhatjuk az impulzusmegmaradás egyenletét:

\begin{matrix} M \cdot v \pm m \cdot v_{0} = (M + m) v' . \end{matrix}

Mivel a fonálinga lengésideje független a tömegtől, a gyerek a labdával ugyanolyan lengésidejű harmonikus rezgőmozgást végez, mint korábban, csak ekkor

A'

amplitudójút.
Ha az ütközést pillanatszerűnek tekintjük, akkor a kitérés az ütközés folyamán nem változik:

x = A sin φ = A' sin φ_{0}

. Az újabb harmonikus rezgőmozgás nem

φ

, hanem más,

φ_{0}'

fázissal kezdődik. Így az előbbi egyenletet a következőképpen írhatjuk:

\begin{matrix} M \cdot A \cdot \frac{2 π}{T} cos φ \pm m v_{0} = (M + m) \cdot A' \cdot \frac{2 π}{T} \cdot cos φ'_{0} . \end{matrix}

Az új amplitúdó:

\begin{matrix} A' = \sqrt[]{A'^{2} \cdot cos^{2} φ'_{0} + A'^{2} \cdot sin^{2} φ_{0}'} = \sqrt[]{A^{2} \cdot sin^{2} φ + {(\frac{M \cdot A \cdot cos φ \pm \frac{m \cdot T}{2 π} v_{0}}{M + m})}^{2}} . \end{matrix}

Horváth Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján