Kezdőlap


Feladat:	2870. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Elek Péter , Kurucz Zoltán , Nagy Szilvia
Füzet:	1996/január, 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hővezetés, Áram hőhatása (Joule-hő), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: 2870. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állandó vízhőmérséklet beálltának oka az, hogy a forraló által közölt hő egyenlő a víz által a levegőnek átadott hővel. Miután a forralót kikapcsoltuk, közelítsünk úgy, hogy amíg a víz $Δ T = 1^{\circ}$ C-ot hűl, addig a víz és a levegő közti hőátadás sebessége (,,hűtési'' teljesítmény) állandó nagyságú marad, ez pedig a forraló $P_{1}$ teljesítményével egyező mennyiség. Eszerint $P_{1} Δ t = c \cdot m \cdot Δ T$ , ahol $Δ t$ a hűlés ideje, $c$ és $m$ pedig a víz fejhője, illetve tömege. Ebből adódik, hogy

\begin{matrix} Δ t = \frac{c \cdot m \cdot Δ T}{P_{1}} = \frac{4200 \frac{J}{kg \cdot^{\circ} C} \cdot 0,2 kg \cdot 1^{\circ} C}{50 W} = 16,8 s \approx 17 s \end{matrix}

alatt hűl le a víz.
Közelíthetjük a problémát úgy is, hogy a leadott teljesítmény a víz és a levegő közötti hőmérsékletkülönbséggel arányos mennyiség, azaz

P = k \cdot (T_{víz} - T_{levegő})

, ahol

k

a hűlés folyamatára jellemző állandó, a grafikon meredeksége. Így kiszámolhatjuk a hőleadás átlagos teljesítményét:

\begin{matrix} \frac{50 W}{35^{\circ} C} = \frac{P_{2}}{34^{\circ} C} = k = állandó . \end{matrix}

Eszerint

P_{2} = 48,6 W

, tehát az átlagos teljesítmény:

\bar{P} = \frac{P_{1} + P_{2}}{2} = 49,3 W

. Most ezzel az átlagos értékkel számolva:

\bar{P} \cdot Δ t = c \cdot m \cdot Δ T

, így

\begin{matrix} Δ t = \frac{4200 \frac{J}{kg \cdot^{\circ} C} \cdot 0,2 kg \cdot 1^{\circ} C}{49,3 W} = 17,04 s \approx 17 s \end{matrix}

alatt hűl le a víz. Tehát az előző közelítésünk sem okozott elfogadhatatlanul nagy hibát (

1,4 %

).
Ha a hálózati feszültség

10 %

-kal csökken, akkor az ismert

P = U \cdot I = \frac{U^{2}}{R}

összefüggésből adódik, hogy

P_{új} = \frac{{(0,9 \cdot U)}^{2}}{R} = 0,81 \cdot P_{1} = 40,5 W

, ha a fűtőszál

R

ellenállását állandónak tekintjük. (Itt ismét közelítünk!). A melegítés során | a fentiekben leírtak szerint | ismét kialakul egy maximális hőmérséklet. Ekkor a víz által leadott teljesítmény

P_{új}

lesz, azaz

P_{új} = k (T_{{max}_{}^{}} - T_{levegő})

, ahol

k = 1,43 W /^{\circ} C

az előbbiek szerint, feltéve, hogy a hőleadás körülményei nem változtak. Tehát a beálló új maximális hőmérséklet

T_{{max}_{}^{}} = \frac{P_{új}}{k} + T_{levegő} = 48,35^{\circ} C \approx 48^{\circ} C

lesz.

Nagy Szilvia (Győr, Révai M. Gimn., III. o.t.),

Kurucz Zoltán (Szolnok, Varga K. Gimn., III. o.t.) és

Elek Péter (Bp., Árpád Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A feladat első kérdésére a folyamatot helyesebben tükröző

\begin{matrix} \frac{d Q}{d t} = - k \cdot (T_{víz} - T_{levegő}) = - k \cdot Δ T \end{matrix}

differenciálegyenlettel is számolhatunk. Ebből az

\begin{matrix} \int_{35^{\circ} C}^{34^{\circ} C} \frac{1}{Δ T} \frac{d (Δ T)}{d t} = - \frac{k}{c \cdot m} \cdot t \end{matrix}

megoldást kapjuk, ami a

t = \frac{c \cdot m}{k} \cdot ln \frac{35}{34} = 17,03 s \approx 17 s

eredményre vezet.