Kezdőlap


Feladat:	2869. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nagy Szilvia , Németh László , Ravasz Erzsébet
Füzet:	1996/január, 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Görbevonalú mozgás lejtőn, Nyomóerő, kötélerő, Egyéb síkmozgás, Egyéb tükrök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: 2869. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $m = 0,1 kg$ tömegű test az $A$ pontból, $h = 1 m$ magasságból indul. Az $O$ pontban a sebessége vízszintes, nagysága (a munkatétel alapján) $v = \sqrt[]{2 g h}$ . A test centripetális gyorsulása $v^{2} / r$ , ahol $r$ az $O$ pontbeli simulókör sugara. A mozgásegyenlet: $N - m g = m v^{2} / r$ , ahol $N$ a keresett nyomóerő ellenereje. A továbbiakban már csak $r$ meghatározása a feladatunk. Erre több módszer kínálkozik:

1. módszer. Egy kétszer differenciálható függvény simulókörének sugarát az

\begin{matrix} r (x) = \frac{{[1 + {(y' (x))}^{2}]}^{3 / 2}}{y'' (x)} \end{matrix}

formulából számíthatjuk ki. A parabolánk egyenlete

y = x^{2}

, tehát

y' = 2 x

y'' = 2

, í

r (0) = \frac{{[1 + {(2 \cdot 0)}^{2}]}^{3 / 2}}{2} = \frac{1}{2}

, azaz a simulókör sugara

r = 0,5 m

2. módszer. Keressünk olyan mozgást, amelynek pályája szintén parabola! Ilyen például a hajítás. Lehet ferde hajítással is számolni, de a vízszintes hajítás nyilvánvalóan egyszerűbb. Vegyük az

y = - x^{2}

egyenletű parabolapályán a csúcsból elhajított testet. Ez, miközben megtesz

1 m

-t vízszintesen, addig

1 m

-t csökken a magassága. Azaz:

x_{0} = v_{0} \cdot t = 1

m, illetve

y_{0} = \frac{g}{2} t^{2} = 1 m

, ahol

v_{0}

a vízszintes kezdősebesség és

t

az eltelt idő. Ebből adódik, hogy

v_{0} = x_{0} \sqrt[]{\frac{g}{2 y_{0}}}

. A parabolapálya csúcsán a simulókörnek megfelelő körpályán halad a test

v_{0}

sebességgel, miközben a gyorsulása

g

, tehát

g = a_{c p} = v_{0}^{2} / r

, azaz

r = v_{0}^{2} / g = x_{0}^{2} / 2 y_{0} = 1 / 2 m

3. módszer. Közelítsük az optika felől a problémát! Tudjuk, hogy egy homorú parabolatükör a fókuszponton keresztül veri vissza a tengelyével párhuzamosan érkező sugarakat. Az

y = x^{2}

egyenletű parabola fókusztávolsága

f = 1 / 4 m

. A homorú gömbtükör hasonlóképpen viselkedik, a tengelyével párhuzamos és a tengelyhez ,,közel'' haladó fénysugarak a fókuszponton keresztül verődnek vissza. Ha a gömbtükör fókusztávolsága

1 / 4 m

, akkor a sugara ennek kétszerese, tehát

r = 2 f = 0,5 m

.
A fentiek alapján

N = m g + \frac{2 m g h}{r} = 5 N

nagyságú erővel nyomja a vájatot a test az

O

pontban.

Nagy Szilvia (Győr, Révai M. Gimn., III. o.t.),

Németh László (Jászapáti, Mészáros L. Gimn., IV. o.t.) és

Ravasz Erzsébet (Sepsiszentgyörgy, Mikes K. Líceum, IV. o.t.) dolgozata alapján