Kezdőlap


Feladat:	2851. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Buronyi László
Füzet:	1995/december, 555. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb pontszerű elektromos töltés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: 2851. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gömbhéj belsejébe helyezett töltés megosztást idéz elő a fémben. A fém belsejében nem lehet (sztatikus) elektromos mező, tehát a $+ Q$ töltésből kiinduló elektromos fluxus a fém belső oldalán $- Q$ töltésben kell végződjön, a fém külső felületére pedig $+ Q$ töltésnek kell kerülnie. Ezek a töltések ugyanúgy helyezkednek el, mint egy tömör fémgömbre felvitt töltések: egyenletesen. A belső oldalon található $- Q$ töltés eloszlását az a követelmény határozza meg, hogy az erővonalak legyenek merőlegesek a fém felületére, vagyis a fém legyen ekvipotenciális (1. ábra).
Ha a fémgömböt leföldelnénk, vagyis a külső felületéről elvezetnénk a $+ Q$ töltést, akkor a fém (külső és belső) felülete nulla potenciálra kerülne. A gömbhéj belsejében elhelyezkedő $+ Q$ töltésre ható erőt ez a változás nem érintené, tehát az eredeti feladat helyett foglalkozhatunk a földelt fémgömbhéj esetével.
Megmutatjuk, hogy a gömbhéj belső felületén elhelyezkedő $- Q$ össztöltésű töltéseloszlás tere (a gömbhéj belsejében!) helyettesíthető egyetlen, alkalmas helyre rakott és megfelelő nagyságúnak választott pontszerű töltés terével. (Ez az inverzió módszere, amelynek speciális esete a sík felületre vonatkozó tükörtöltés-módszer.)
Oldjuk meg a feladatot általánosan! Ha $Q$ nagyságú töltést helyezünk el egy $R$ sugarú gömb középpontjától $d$ távolságban, a gömbön kívül pedig $d'$ távolságban egy $Q'$ nagyságú töltést (2. ábra), akkor a gömb valamely $P$ pontjának potenciálja

\begin{matrix} U (P) = k \frac{Q}{r} + k \frac{Q'}{r'} . \end{matrix}

(1)

A gömb egész felülete ekvipotenciális (nevezetesen nulla potenciálú) lesz, ha

\begin{matrix} \frac{r}{r'} = - \frac{Q}{Q'} = állandó . \end{matrix}

(2)

Ismert geometriai tétel (Apollóniosz tétele), hogy a sík két rögzített pontjából adott (1-től különböző) távolságarányú pontok mértani helye egy kör (Apollóniosz-kör), térben pedig ezen kör megforgatásából adódó gömb.
Írjuk fel a (2) feltételt a 2. ábrán látható

A

és

B

pontokra:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{R - d}{d' - R} & = - \frac{Q}{Q'}, & (3) \\ illetve \frac{R + d}{d' + R} & = - \frac{Q}{Q'} . & (4) \end{matrix} \end{matrix}

Ebből a két egyenletből kapjuk, hogy

d d' = R^{2}

, tehát

\begin{matrix} \begin{matrix} d' & = \frac{R^{2}}{d} & (5) \\ és Q' & = - \frac{R}{d} Q . & (6) \end{matrix} \end{matrix}

(Ha

R ≫ R - d

, akkor a fenti két képlet visszaadja a síkra való tükrözés ismertebb formuláit:

Q' \approx - Q

, illetve

d' - R \approx R - d

.)
A feladatban szereplő adatokkal

\begin{matrix} d' = \frac{R^{2}}{R / 2} = 2 R, illetve Q' = - 2 Q \end{matrix}

adódik. A gömbhéjon elhelyezkedő töltések tehát éppen akkora erőt fejtenek ki a belső, pontszerű töltésre, mint amekkorát a gömbre inverzióval kapott

Q'

pontszerű töltés fejtene ki:

\begin{matrix} F = k \frac{Q Q'}{{(d' - d)}^{2}} = - \frac{8}{9} k \frac{Q^{2}}{R^{2}} . \end{matrix}

Buronyi László (Fazekas M . Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján