Kezdőlap


Feladat:	2850. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Elek Péter , Farkas Illés , Holcsek Balázs , Horváth Péter , Puskás Zsolt , Szabó Gábor , Tóth Gábor Zsolt
Füzet:	1995/december, 553. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erőrendszer eredője, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: 2850. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat rokona az FF. 2739. (KöMaL 1994/2. 88. old.) feladatnak, megoldása egy darabig hasonló vágányon futhat. A pálcára a $G$ nehézségi erő, a henger falának $N$ nyomóereje, a $T$ tapadási súrlódási erő és a csuklóerő hat (utóbbit az 1. ábrán nem tüntettük fel). Egyensúlyban a rúdra ható erők eredője és a forgatónyomatékok eredője nulla.
A csuklón átmenő függőleges $z$ -tengelyre vonatkozó forgatónyomaték:

\begin{matrix} N t sin β + T_{2} t cos β = 0, \end{matrix}

a csuklón átmenő,

T_{2}

-vel párhuzamos

y

-tengelyre vonatkozó pedig

\begin{matrix} N h = T_{1} t cos β - G \frac{t}{2} sin β = 0. \end{matrix}

A rúd akkor nem csúszik meg, ha

\begin{matrix} T_{1}^{2} + T_{2}^{2} \leq μ_{t}^{2} N^{2}, \end{matrix}

ahol

μ_{t}

a tapadási súrlódási együttható.

T_{1}

és

T_{2}

kifejezhető az első két egyenletből, behelyettesítve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} N^{2} (tg^{2} β + \frac{h^{2}}{t^{2} cos^{2} β} - μ_{t}^{2}) - N G \frac{h}{t cos β} + \frac{G^{2}}{4} \leq 0. \end{matrix}

Az egyensúly feltétele az, hogy az adott körülmények mellett létezzen olyan nemnegatív

N

, amelyre az egyenlőtlenség teljesül.
Ha

μ_{t}^{2} > tg^{2} β + \frac{h^{2}}{t^{2} cos^{2} β}

, akkor az egyenlőtlenség bal oldala lefelé nyitott parabola, így elég nagy

N

-re biztosan teljesül. Ha

μ_{t}^{2} < tg^{2} β + \frac{h^{2}}{t^{2} cos^{2} β}

, akkor a bal oldal felfelé nyitott parabola, az egyenlőtlenség akkor teljesülhet, ha van pozitív valós gyöke. Nemnegatív diszkrimináns esetén ez igaz, utóbbihoz pedig

μ_{t}^{2} \geq tg^{2} β

szükséges.
Meghatározzuk

tg β

legnagyobb értékét.

β < 90^{\circ}

a Thalész-tétel miatt, ezért

tg β

akkor maximális, ha

β

maximális. Az

A O B

háromszögben

sin β = \frac{s}{r} sin α

, ezért

β

akkor a legnagyobb, amikor

α = 90^{\circ}

, ekkor

tg β = \frac{s}{\sqrt[]{r^{2} - s^{2}}}

(2. ábra). Ha a pálca elég hosszú, akkor megvalósulhat az

α = 90^{\circ}

-os helyzet, ilyenkor az egyensúly feltétele

\begin{matrix} μ_{t} \geq \frac{s}{\sqrt[]{r^{2} - s^{2}}} . \end{matrix}

Több dolgozat alapján

Megjegyzések. 1. Hogy

μ_{t} \geq tg β

szükséges feltétel, azt egyedül az

z

-tengelyre vonatkozó forgatónyomaték egyenletből is megkaphatjuk. Abból

\frac{| T_{2} |}{| N |} = tg β

, és

μ \geq \frac{T}{N} \geq \frac{| T_{2} |}{N} = tg β

. Hogy ez elegendő feltétel, az végül is annak következménye, hogy az egyensúlyi egyenletek nem határozzák meg egyértelműen az erőket. Tetszőleges megoldáshoz mindig hozzáadhatunk egy a csuklónál ható

F_{1}

és egy a falnál ható

F_{2}

erőt, amelyekre

F_{1} + F_{2} = 0

, és mindkettő a pálca irányába mutat. Ezzel állíthatjuk be az

N

nyomóerőt a szükséges értékre, hogy teljesüljön a megoldásban leírt egyenlőtlenség.
2.

α = 90^{\circ}

akkor lehetséges, ha

l \geq \sqrt[]{r^{2} - s^{2}}

(2. ábra). Az

l < \sqrt[]{r^{2} - s^{2}}

esetben

tg β

akkor veszi fel maximumát, amikor

sin α

maximális, vagyis amikor

α

minimális (

α > 90^{\circ}

). Az

A O B

háromszögre felírva a koszinusztételt:

\begin{matrix} s^{2} = l^{2} + r^{2} - 2 l r cos β_{{max}_{}^{}} . \end{matrix}

Innen:

tg β_{{max}_{}^{}} = \frac{\sqrt[]{1 - cos^{2} β_{{max}_{}^{}}}}{cos β_{{max}_{}^{}}} = \frac{\sqrt[]{4 l^{2} r^{2} - {(l^{2} + r^{2} - s^{2})}^{2}}}{l^{2} + r^{2} - s^{2}}

, az egyensúly (tapadás) feltétele pedig

μ \geq tg β_{{max}_{}^{}}