Feladat:	2840. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1995/május, 304. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Merev test térbeli mozgása, Centrifugális erő, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/november: 2840. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A nehezékek egyenletes körmozgást végeznek $\omega$ szögsebességgel. Vizsgáljuk meg a testekre ható erőket és a körmozgás dinamikai feltételét! A nehezékekre a nehézségi erő és a pálcák által kifejtett erő hat. Ez utóbbi | könnyű pálcák esetében | a pálca hossztengelyének irányába kell mutasson, hasonlóan a fonalak által kifejtett erőhöz. Ha ugyanis egy vékony, könnyű pálca az 1. ábrán látható erőket fejtené ki a végeinél elhelyezkedő testekre, akkor magára a pálcára ezek ellenereje, tehát $-{\text{F}}_1$ és $-{\text{F}}_2$ hatna. Ezen két erőnek az eredője nulla kell legyen (Newton II. törvénye és $m_{\text{pálca}}\approx 0$ miatt), és hasonló okokból forgatónyomatéka sem lehet (${\Theta }_{\text{pálca}}\approx 0$). Vigyázat: ugyanez az érvelés nem mondható el akkor, ha a pálca tömege számottevő (lásd még az FN. 2852. feladat megoldását lapunk 310. oldalán | A Szerk.) Tételezzük fel, hogy a testek a 2. ábrán látható módon mozognak (vagyis úgy, hogy a pálcák egy egyenesbe esnek). Belátjuk, hogy ez az elrendeződés nem valósulhat meg. Az alsó test függőleges irányban nem gyorsul, ezért a (pálca irányú) ${\text{F}}_2$ erő függőleges komponense $Mg$ kell legyen, s a ${45}^{\circ }$-os elrendezés miatt ugyanekkora a vízszintes összetevője is. Az ${\text{F}}_1$ erő függőleges összetevője hasonló okokból $2Mg$, s ugyanekkora a vízszintes komponense is. A felső testre ható eredő erő vízszintes összetevője tehát $Mg$, s ugyanekkora az alsó testre ható erőké is. Ez azonban nem lehetséges, hiszen az alsó test nagyobb sugarú körpályán mozog, ugyanakkora szögsebességgel, mint a felső. (Az $l_2=0$ esetet nyilván kizárhatjuk, hiszen ekkor nem is beszélhetünk két pálcáról, csak egyről.) A pálcák tehát nem eshetnek egy egyenesbe, hanem egymással derékszöget bezárva, a 3. ábrán látható elrendeződésben mozoghatnak. (Az $l_2<l_1$ eset, vagyis amikor mindkét test a forgástengely azonos oldalán található, könnyen kizárható.) A függőleges irányú mozgás (hiányának) egyenletéből $\begin{array}{c}{\displaystyle F_2=\sqrt[]{2}Mg\text{és}{F}_1=2\sqrt[]{2}Mg}\end{array}$ adódik, a vízszintes irányú mozgásegyenletek pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(2\sqrt[]{2}Mg+\sqrt[]{2}Mg\right)\frac{1}{\sqrt[]{2}}=M\frac{l_1}{\sqrt[]{2}}{\omega }^2\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \left(\sqrt[]{2}Mg\right)\frac{1}{\sqrt[]{2}}=M\cdot \frac{l_2-l_1}{\sqrt[]{2}}{\omega }^2\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ A fenti két egyenletet elosztva egymással $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{l_2-l_1}{l_1}=\mathrm{3,}}\end{array}$ vagyis $l_2/l_1=4/3$ adódik. A rendszer szögsebessége például a felső test mozgásegyenletéből kapható meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =\sqrt[]{\frac{3\sqrt[]{2}g}{l_1}}\mathrm{,}}\end{array}$ a motor fordulatszáma pedig $f=\frac{\omega }{2\pi }$.  Több dolgozat alapján    II. megoldás. A feladatot megoldhatjuk szerkesztéssel is. Üljünk bele képzeletben a pálcákkal együtt forgó, gyorsuló koordináta-rendszerbe, és vizsgáljuk meg a testek egyensúlyának feltételét! Az alsó testre a nehézségi erő, az $F_{\text{cf}}^{\left(2\right)}$ centrifugális erő és a pálca által kifejtett (pálca irányú) $F$ erő hat. Ezek akkor lehetnek egyensúlyban, ha $F_{\text{cf}}^{\left(2\right)}=Mg$ és $F=\sqrt[]{2}Mg$ (4. ábra). A másik testre az $Mg$ súlyerő, az alsó pálca által kifejtett $F$ erő és egy ismeretlen nagyságú, vízszintes $F_{\text{cf}}^{\left(1\right)}$ centrifugális erő hat. Ezek eredője akkor lesz a felső pálcával párhuzamos, ha $F_{\text{cf}}^{\left(1\right)}=3Mg=3F_{\text{cf}}^{\left(2\right)}$ (5. ábra). A 6. ábrán jól látható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{F_{\text{cf}}^{\left(1\right)}}{F_{\text{cf}}^{\left(2\right)}}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{l_1}{l_2-l_1}=\mathrm{3,}}\end{array}$ ahonnan $l_2/l_1=4/3$, az $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{cf}}^{\left(1\right)}=3Mg=M\cdot r_1\cdot {\omega }^2=M\frac{l_1}{\sqrt[]{2}}{\omega }^2}\end{array}$ összefüggésekből pedig az I. megoldásban megkapott szögsebesség következik.  (G. P.)    Megjegyzés. A motor körülfordulásának ideje $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{l_1}{3\sqrt[]{2}g}}\mathrm{,}}\end{array}$ ami megegyezik egy kb. $0\mathrm{,}24l_1$ hosszúságú matematikai inga lengésidejével.