Feladat:	2834. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Képes György ,  Méder Áron ,  Németh Tibor
Füzet:	1995/február, 120 - 122. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erőrendszer eredője, Erők forgatónyomatéka, Tapadó súrlódás, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: 2834. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A lemez függőleges és vízszintes része egyforma súlyú; jelöljük ezt a súlyt $G$-vel. A lemezre ható erőket az 1. ábrán tüntettük fel. Az egyensúly feltétele, hogy a függőleges erők, a vízszintes erők, illetve a forgatónyomaték előjeles összege nulla legyen:   1. ábra   $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle S_1-F_2}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(1\right)}\\ \hfill {\displaystyle F_1+S_2-2G}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(2\right)}\\ \hfill {\displaystyle G\cdot R-S_{1}R-S_{2}R}& {\displaystyle =0.}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(3\right)}\end{array}}}\end{array}$ (A forgatónyomaték egyensúlyát a henger tengelyére vonatkoztatva írtuk fel, de | mivel egyensúlyi helyzetet vizsgálunk | bármely más pontra is felírhattuk volna.) Ha a lemez és a henger között $\mu$ a tapadási súrlódási együttható, akkor fenn kell még álljon, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle S_1}& {\displaystyle \le \mu F_1\mathrm{,}\text{illetve}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{(4a)}}\\ \hfill {\displaystyle S_2}& {\displaystyle \le \mu F_2\mathrm{.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{(4b)}}\end{array}}}\end{array}$ Az (1)‐(3) rendszer nem határozza meg egyértelműen az $S_1$, $S_2$, $F_1$ és $F_2$ ismeretleneket, a rendszer statikailag határozatlan. Az egyik ismeretlent, mondjuk $F_2$-t szabadon hagyva, $S_1$, $S_2$ és $F_1$ már kifejezhető $F_2$ (és az ismertnek tekintett $G$) segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle S_1=F_2;S_2=G-F_2;F_1=G+F_2\mathrm{.}}\end{array}$ Ha ezeket behelyettesítjük (4a) és (4b)-be, akkor | átrendezések után | kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\mu +1}\le \frac{F_2}{G}\le \frac{\mu }{1-\mu }\mathrm{.}}\end{array}$ (5) (Feltételezzük, hogy $\mu <1$; ellenkező esetben (4a) biztosan teljesül, (4b) pedig alkalmas $F_2$ esetén ugyancsak fennállhat.) Az (5) egyenlőtlenségrendszernek csak akkor van megoldása, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\mu +1}\le \frac{\mu }{1-\mu }\mathrm{,}}\end{array}$ (6) azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \ge \sqrt[]{2}-1=0\mathrm{,}41.}\end{array}$  Méder Áron (Budapest, Táncsics M. Gimn., I. o.t.)   II. megoldás. A feladatot megoldhatjuk grafikusan is. A lemezre ható erőket a 2. ábra mutatja. Az $A$ pontban ható erő (a nyomóerő és a súrlódási erő eredője) egy olyan szögtartományban kell feküdjön, amelyre $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha =\mu$. Ugyanez igaz a $B$ pontban ható erők eredőjére is. A két erő hatásvonalának metszéspontja, a $P$ pont tehát a két szögtartomány közös részében, az ábrán sötétebbre színezett négyszögben kell elhelyezkedjen.   2. ábra   3. ábra   Másrészt a $P$ pont rajta kell legyen a lemez súlyának hatásvonalán, ami | szimmetriaokokból | az $AB$ felezőpontján, az $S$ súlyponton halad át, tehát a függőleges lemezoldaltól $R/2$ távolságra van. A súrlódási együtthatónak | s vele együtt az $\alpha$ szögnek | legalább akkorának kell lennie, hogy a négyszög $C$ pontja a függőleges lemezoldaltól legfeljebb $R/2$ távolságra legyen. A határesetet a 3. ábra mutatja. A $C$ pont az $AB$ fölé írt Thálész-körön helyezkedik el. A $CSB$ háromszög egyenlő szárú, és mivel $CSB\sphericalangle ={45}^{\circ }$, az $SBC\sphericalangle$  $\left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)/2=67\mathrm{,}{5}^{\circ }$, a keresett súrlódási együttható legkisebb értéke: ${\mu }_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}{\alpha }_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}22\mathrm{,}{5}^{\circ }=0\mathrm{,}41$.  Képes György (Kecskemét, Katona J. Gimn., IV. o.t.)   Megjegyzés. Az egyenletrendszer határozatlansága mögött az rejlik, hogy az erők tényleges nagysága attól függ, mennyire feszítettük neki a lemezt a hengernek. A beszorítottság mértéke a lemez rugalmas alakváltozását szabja meg, a feladat teljes részletességében csak a rugalmasságtan egyenleteinek felírásával oldható meg.  Németh Tibor (Győr, Révai M. Gimn., IV. o.t.)