Kezdőlap


Feladat:	2830. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/február, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körmozgás (Síkmozgás), Görbevonalú mozgás lejtőn, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: 2830. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az autó az ábrán látható $m g$ súlyerő, $N$ nyomóerő és $S$ súrlódási erő eredőjének hatására $a = v^{2} / r$ gyorsulással mozog ( $v$ a sebessége, $r$ pedig a pálya görbületi sugara).

A mozgásegyenletek

x

(vízszintes), illetve

y

(függőleges) irányban:

\begin{matrix} \begin{matrix} m g - N cos α - S sin α & = 0, \\ N sin α - S cos α & = m \frac{v^{2}}{r} . \end{matrix} \end{matrix}

Az ábrán az

S

erőt az úttest emelkedésének irányában vettük fel. Ténylegesen | a gépkocsi sebességétől függően |

S

mutathat lefelé is. A fenti egyenletek ekkor is érvényesek, ilyenkor

S < 0

. A csúszásmentes haladás feltétele (amennyiben a vezető se nem fékez, se nem gyorsít a kanyarban):

| S | \leq μ N

.
Az egyenletrendszerből

N

-t és

S

-t kiszámítva és az egyenlőtlenségbe helyettesítve a sebességre két korlátot kapunk:

\begin{matrix} v < v_{1} = \sqrt[]{r g \frac{sin α + μ cos α}{cos α - μ sin α}} = 25 \frac{m}{s}, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} v > v_{2} = \sqrt[]{r g \frac{sin α - μ cos α}{cos α + μ sin α}} = 8, 4 \frac{m}{s} . \end{matrix}

Több megoldás alapján

Megjegyzések. 1. A feladat megoldható az autóhoz rögzített (gyorsuló) koordináta-redszerben is. Ekkor a testre ható erők:

N

S

m g

és a vízszintesen kifelé mutató

F = m v^{2} / r

,,centrifugális erő''; ezek egyensúlyi feltétele adja a megoldást.
2. Egyszerűbbé válnak a képletek, ha bevezetjük a súrlódási határszög fogalmát

μ = tg ε

definícióval. (

ε

a legmeredekebb lejtő dőlésszöge, amelyről egy test

μ

súrlódási együttható esetén még éppen nem csúszik le.) Az autó sebességének korlátai a következők:

tg (α - ε) \leq v^{2} / (r g) \leq tg (α + ε)

.
3. Sokan a centripetális erőt (illetve a forgó koordináta-rendszer alkalmazása esetén a centrifugális erőt) a lejtő síkjában ható erőnek vélték. Ez azonban hibás, az autó körpályájának középpontja nincs rajta a lejtőn.