Feladat:	2824. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kovács Baldvin
Füzet:	1995/február, 113 - 115. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nagy kitérítés, Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek kinematikája), Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: 2824. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Mindkét ingánál az energiamegmaradás törvényéből kiszámítjuk, hogy a vízszintessel $\alpha$ szöget bezáró helyzetben mekkora a szögsebességük. Rúdingára     $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{\Theta }_r{\omega }_r^2=mg\frac{L}{2}\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol ${\Theta }_r=\frac{1}{3}m{L}^2$ a rúd tehetetlenségi nyomatéka a végpontjára. Hasonlóan a fonálingára: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{L}^2{\omega }_f^2=mgL\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (2) A fenti két egyenletet elosztva egymással és gyököt vonva $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\omega }_r}{{\omega }_f}=\sqrt[]{\frac{3}{2}}}\end{array}$ adódik. A rúdinga szögsebessége tehát minden szöghelyzetnél ugyanannyiszor nagyobb, mint a fonálinga szögsebessége ugyanannál a szögnél, tehát a lengés teljes ideje is ugyanilyen arányban rövidebb a rúdingánál, mint a fonálingánál: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{T_r}{T_f}=\sqrt[]{\frac{2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$  Kovács Baldvin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)   II. megoldás. Egy alkalmasan választott $L^{*}$ hosszúságú fonálinga szögsebessége minden szöghelyzetnél ugyanakkora, mint az $L$ hosszú rúdingáé. Az energiatétel alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{2}m{L^{*}}^2{\omega }^2=mg{L}^{*}\cdot \text{sin}\alpha \mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \text{illetve}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}m{L}^2\right){\omega }^2=mg\frac{L}{2}\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ A két egyenlet hányadosából $L^{*}=\frac{2}{3}L$. Egy ilyen hosszú fonálinga a rúdéval egyenlő szögkitérésből elengedve azonos ütemben fog mozogni a rúdingával, tehát a lengésidejük is megegyezik. Másrészt igaz, hogy bármilyen nagy szögkitérés esetén egy $L$ hosszúságú fonálinga lengésideje $\begin{array}{c}{\displaystyle T_f\left(L\right)=\text{állandó}\cdot \sqrt[]{\frac{L}{g}}}\end{array}$ kell legyen, hiszen más módon nem kaphatunk $L$-ből és $g$-ből idő dimenziójú mennyiséget. (Az állandó értéke kis szögű lengéseknél $2\pi$, nagyobb szögeknél csak bonyolult módon számolható.) Mivel a rúdinga lengésideje megegyezik egy $L^{*}=\frac{2}{3}L$ hosszú fonálingáéval, $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{T_r}{T_f}=\frac{T_f\left(L^{*}\right)}{T_f\left(L\right)}=\sqrt[]{\frac{L^{*}}{L}}=\sqrt[]{\frac{2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$  G. P.