Kezdőlap


Feladat:	2797. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Baldvin
Füzet:	1994/december, 515. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb Ohm-törvény, Áramforrások belső ellenállása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: 2797. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először belátjuk, hogy egy $R_{b}$ belső ellenállású áramforrás akkor adja le a legnagyobb teljesítményt, ha az $R$ terhelő ellenállás éppen $R_{b}$ -vel egyenlő. Ha az áramforrás üresjárati feszültsége $U_{0}$ , akkor $R$ terhelő ellenálláson $I = \frac{U_{0}}{R + R_{b}}$ áram folyik, s a felvett teljesítmény

\begin{matrix} P = I^{2} R = U_{0}^{2} \frac{R}{{(R + R_{b})}^{2}} . \end{matrix}

Nyilván igaz, hogy

P

ott maximális, ahol az

\begin{matrix} f (R) = \frac{{(R + R_{b})}^{2}}{R} = (R + \frac{R_{b}^{2}}{R}) + 2 R_{b} \end{matrix}

függvénynek minimuma van. Ez viszont ─ a zárójelben álló tagra alkalmazva a számtani és mértani közepekre vonatkozó

\begin{matrix} R + \frac{R_{b}^{2}}{R} \geq 2 \sqrt[]{R \cdot \frac{R_{b}^{2}}{R}} = 2 R_{b} \end{matrix}

egyenlőtlenséget, éppen a bizonyítandó állítást adja:

P

-nek

R = R_{b}

-nél van maximuma, s ez a maximális teljesítmény

\begin{matrix} P (R_{b}) = \frac{U_{0}^{2}}{4 R_{b}} . \end{matrix}

Változzon most

R_{b}

belső ellenállás

R'_{b}

-re úgy, hogy

P (R'_{b}) = 0,8 P (R_{b})

teljesüljön. A fenti összefüggésekből

R'_{b} = 1,25 R_{b}

. Így a ténylegesen leadott teljesítmény az eredeti

R = R_{b}

terhelő ellenálláson

\begin{matrix} P' = U_{0}^{2} \frac{R_{b}}{{(R'_{b} + R_{b})}^{2}} = \frac{U_{0}^{2} R_{b}}{{(2,25 R_{b})}^{2}} = \frac{1}{5,06} \cdot \frac{U_{0}^{2}}{R_{b}}, \end{matrix}

ami az eredetileg leadott

P (R_{b})

teljesítménynek

\frac{P'}{P} = \frac{4}{5,06} = 0,79 = 79 %

-a. A leadott teljesítmény tehát 21 százalékkal csökkent.

Kovács Baldvin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján