Kezdőlap


Feladat:	2783. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1994/november, 474. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb indukciótörvény, Mozgás homogén mágneses mezőben, Egyéb töltött részecskemozgás, Körmozgás (Síkmozgás), Egyenletesen változó körmozgás, Betatron, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/január: 2783. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az áram bekapcsolása után $t$ idővel a külső tekercsben $I = k t$ , a belsőben $2 I = 2 k t$ áram folyik ( $k$ állandó), s ezek hatására a külső tekercsben $B = μ_{0} n \cdot k t$ , a belsőben pedig $3 B$ indukciójú mágneses tér alakul ki ( $n$ a hosszegységre jutó menetek száma). A részecske $r$ sugarú pályája által körülölelt mágneses fluxus

\begin{matrix} Φ = R^{2} π \cdot 2 B + r^{2} π \cdot B = (2 R^{2} + r^{2}) π μ_{0} n k t . \end{matrix}

Ennek a fluxusnak időegységre jutó megváltozása

\begin{matrix} \frac{Δ Φ}{Δ t} = (2 R^{2} + r^{2}) π μ_{0} n k, \end{matrix}

s ez a mennyiség ─ az indukciótörvény szerint ─ megegyezik az örvényes elektromos mező örvényerősségével:

\begin{matrix} E \cdot 2 r π = (2 R^{2} + r^{2}) π μ_{0} n k, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} E = \frac{2 R^{2} + r^{2}}{r} \frac{μ_{0} n k}{2} \end{matrix}

A töltött részecskét a mágneses mező tartja körpályán; a Newton-féle mozgásegyenlet sugár irányú komponense

\begin{matrix} \frac{m v^{2}}{r} = q v B, \end{matrix}

az érintő irányú mozgásegyenlet pedig

\begin{matrix} m a = q E . \end{matrix}

(

m

a részecske tömege,

q

pedig a töltése.) Az időben állandó nagyságú elektromos mező hatására a részecske sebessége egyenletesen növekszik:

\begin{matrix} v = a t = \frac{q E}{m} t = \frac{2 R^{2} + r^{2}}{r} \frac{μ_{0} n k}{2} \frac{q}{m} t . \end{matrix}

Ezt és

B

értékét az érintő irányú mozgásegyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} \frac{m}{q} \cdot \frac{2 R^{2} r^{2}}{r^{2}} \frac{μ_{0} n k}{2} \frac{q}{m} t = q μ_{0} n k t \end{matrix}

adódik, amiből egyszerűsítések után következik, hogy

\begin{matrix} \frac{2 R^{2} + r^{2}}{2 r^{2}} = 1, azaz r = \sqrt[]{2} R . \end{matrix}