Kezdőlap


Feladat:	2781. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Füzesi Csaba
Füzet:	1994/május, 282. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/január: 2781. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A vízszinteshez képest $α$ szögben $v_{0}$ kezdősebességgel ledobott kő helyét és sebességét az

\begin{matrix} x = v_{0} t cos α, v_{x} = v_{0} cos α, \\ y = v_{0} t sin α - \frac{g}{2} t^{2}, v_{y} = v_{0} sin α - g t \end{matrix}

összefüggések határozzák meg.
Az elegendően meredek szögben eldobott kő eleinte távolodik tőlünk, majd közeledik az eldobás helyéhez. Abban a pillanatban, amikor a kő a legmesszebb van tőlünk, a sebessége merőleges a helyvektorára. Ilyenkor:

\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{- v_{y}}{v_{x}}, azaz x v_{x} + y v_{y} = 0. \end{matrix}

A fentebbi képletek felhasználásával a kő legtávolabbi helyzetének megfelelő

t

időpontra az alábbi másodfokú egyeneletet kapjuk:

\begin{matrix} \frac{g^{2}}{2} t^{2} - \frac{3}{2} b v_{0} sin α \cdot t + v_{0}^{2} = 0. \end{matrix}

Ha ennek az egyenletnek negatív a diszkriminánsa, akkor nincsen olyan pillanat, amikor a test ,,legtávolabb'' lenne tőlünk, vagyis a kő állandóan távolodik az eldobás helyétől. Ez akkor áll venn, ha

\begin{matrix} sin^{2} α < \frac{8}{9}, vagyis α < 70, 5^{\circ} . \end{matrix}

Füzesi Csaba (Debrecen, Gábor D. Elekrtonikai Műsz. Középisk., III. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A feladat felfogható a pályagörbére vonatkozó koordinátageometriaia problémaként is: mikor nincs az

y = a x - b x^{2}

egyenletű parabolánál az

F (x) = x^{2} + y {(x)}^{2}

függvénynek maximuma? Differenciálás és egy másodfokú egyenlet diszkriminánsának vizsgálata után az állandó távolodásra az

a < \sqrt[]{8}

feltételt kapjuk, ami

a = tg α

miatt egyenértékű a fizikai megfontolások alapján kapott eredménnyel.