Kezdőlap


Feladat:	2767. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fábián László , Füzesi Csaba , Kovács Krisztián , Ravasz Erzsébet , Szabó Zsolt
Füzet:	1994/április, 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Energiamegmaradás tétele, Egyéb síkmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/november: 2767. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a síelő sebességét a pálya legfelső $P_{1}$ pontjában $v_{1}$ -gyel, a legalsó $P_{2}$ pontban pedig $v_{2}$ -vel, a talaj által a síelőre kifejtett nyomóerőt pedig $N_{1}$ és $N_{2}$ -vel!

1. ábra

A Newton-féle mozgásegyenlet alapján

\begin{matrix} m g - N_{1} = \frac{m v_{1}^{2}}{R}, illetve m g - N_{2} = - \frac{m v_{2}^{2}}{R}, \end{matrix}

ahol

R

a színusz-függvényhez illeszkedő simulókör sugara, az ún. görbületi sugár a

P_{1}

(és

P_{2}

) pontban. A pálya alakját a

\begin{matrix} h (x) = A sin k x \end{matrix}

függvénnyel írhatjuk le, ahol

A

a hullám amplitúdója,

k = 2 π / λ

pedig az ún. hullámszám.
Az energiamegmaradás törvénye szerint:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g \cdot 2 A = \frac{1}{2} m v_{2}^{2}, \end{matrix}

a pálya legmélyebb pontján a sebesség:

\begin{matrix} v_{2} = \sqrt[]{v_{1}^{2} + 4 g A}, \end{matrix}

s innen (1) felhasználásával

\begin{matrix} N_{1} = m (g - \frac{v_{1}^{2}}{R}), N_{2} = m (g + \frac{v_{1}^{2}}{R} + 4 g \frac{A}{R}) . \end{matrix}

A továbbiakban már csak egyetlen feladatunk van, az

R

görbületi sugár kiszámítása. Ezt többféle módon is megtehetjük.
Képzeljük el, hogy egy test (nem a feladatban szereplő síelő, hanem valaki más) vízszintesen egyenletes

v_{0}

sebességgel mozog a színuszgörbén:

x = v_{0} t

. A függőleges elmozdulása ekkor

\begin{matrix} h (t) = A sin k v_{0} t, \end{matrix}

vagyis a mozgása

A

amplitúdójú,

ω = k v_{0}

körfrekvenciájú rezgőmozgás. Ismert, hogy ennek a mozgásnak a tetőpontbeli gyorsulás

\begin{matrix} | a | = A ω^{2} = A k^{2} v_{0}^{2} . \end{matrix}

másrészt a simulókör menti

v_{0}

sebességű mozgásra

a = v_{0}^{2} / R

. A kétféle módon kiszámított gyorsulást összevetve a

P_{1}

és

P_{2}

pontbeli görbületi sugárra:

\begin{matrix} R = \frac{1}{A k^{2}} = [2 m \cdot (0,2 m^{- 1})^{2}]^{- 1} = 12,5 m \end{matrix}

adódik. A többi ismert adatot is behelyettesítve (3)-ból végül a keresett nyomóerők:

\begin{matrix} N_{1} = 469 N, N = 1085 N . \end{matrix}

Fábián László (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn., II. o. t.) és
Szabó Zsolt (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. A görbületi sugár kiszámítható a matematika-táblázatokban megtalálható

\begin{matrix} R = \frac{{[1 + h' {(x)}^{2}]}^{3 / 2}}{| h'' (x) |} \end{matrix}

képlet alapján, ahol a vessző a deriválást jelöli. Mivel a (2)-beli függvényre

\begin{matrix} h' (x) = A k cos k x és h'' (x) = - A k sin k x, \end{matrix}

s ezeket a kifejezések

k x = π / 2

-nél (vagy

3 π / 2

-nél) kell tekintenünk, a sugárra

R = (A k^{2})^{- 1}

adódik, összhangban (4)-gyel.

Füzesi Csaba (Debrecen, Gábor D. Elektronikai Műsz. Középisk., III. o. t.)

III. megoldás. Toljuk el a koordináta-rendszerünk kezdőpontját egy negyed hullámhosszal, s keressük meg az

y (x) = A cos k x

függvény

P

pontbeli simulókörének sugarát. Mi a feltétele annak, hogy az

O (0, v)

középpontú,

R

sugarú kör áthaladjon a

P (0; 2), S (d; A cos k d)

pontpáron? A kör egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + {(y - v)}^{2} = R^{2}, \end{matrix}

ebbe a

P

, illetve

S

koordinátáit behelyettesítve

\begin{matrix} A - v & = R, \\ d^{2} + {(A cos k d - v)}^{2} & = R^{2} \end{matrix}

adódik. Ezekből kiszámíthatjuk, hogy a görbületi sugár

\begin{matrix} R = \frac{d^{2} + A^{2} {(a - cos k d)}^{2}}{2 A (1 - c o s k d)} . \end{matrix}

Válasszunk egy kicsiny

d

értéket, mondjuk 0,5 m-t; ekkor a fenti képlet szerint

R = 12,51 m

. Ha az

S

pontot még közelebb hozzuk

P

-hez, pl.

d = 0,1 m

-nyire, akkor

R = 12,5006 m

adódik. Nyugodtan kijelenthetjük tehát, hogy a feladat adatainak megfelelő pontosságig

R = 12,5 m

Kovács Krisztián (Békéscsaba, Kemény Gábor Műsz. Szki., III. o. t.)

Megjegyzések.1. A

h [x (t)] = A sin k x (t)

függvény deriválásával is megkapható a függőleges gyorsulás,

\begin{matrix} v_{f} = \frac{d h}{d t} = A k \frac{d x}{d t} \cdot cos k x (t), \end{matrix}

\begin{matrix} a_{f} = \frac{d v_{f}}{d t} = - A k^{2} (\frac{d x}{d t})^{2} \cdot sin k x + A k a_{vízszintes} cos k x . \end{matrix}

A pálya tetőpályán

a_{f ü g g ő l e g e s} = - A k^{2} \cdot v_{vízszintes}^{2}

s

ebből a Newton-egyenletet alkalmazva a nyomóerő közvetlenül adódik.

Ravasz Erzsébet (Sepsiszentgyörgy, Mikes K. Líceum, III. o. t.)

2. Többen a

g = 10 m / s^{2}

közelítéssel éltek, s így

N_{1} = 480 N, N_{2} = 1104 N

-t kaptak. Ez a közelítés túlságosan durva, a jelen esetben nem indokolt.
3. Sokan ─ hibásan ─ a

v_{2} = v_{1} + \sqrt[]{4 g A}

képlettel számolták a síelő sebességét a pálya legmélyebb pontjában. Vigyázat: az energiák, nem pedig a sebességek adódnak össze!