Kezdőlap


Feladat:	2741. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pálfalvi László , Párniczky Benedek , Sallai László , Székely Sándor , Veres Gábor
Füzet:	1994/február, 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	de Broglie-hipotézis, Határozatlansági (Heisenberg-) reláció, Atommagok összetétele, Relativisztikus energia, Relativisztikus impulzus, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/május: 2741. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A magba zárt elektron mozgási energiája

\begin{matrix} E_{k i n} = \sqrt[]{m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}} - m_{0} c^{2}, \end{matrix}

(1)

ha az impulzusának nagysága

p

. Másrészt

r

sugarú gömbbe (az atommag méretének megfelelő tartományba) zárt részecske impulzusa a Heisenberg-féle összefüggés szerint nagyságrendileg

\begin{matrix} p \end{matrix}

(2)

kell legyen (ahol

ℏ = h / (2 π)

a Planck-állandó). Eszerint

\begin{matrix} E_{k i n} \approx \sqrt[]{m_{0}^{2} c^{4} + ℏ^{2} c^{2} / r^{2}} - m_{0} c^{2} . \end{matrix}

(3)

Felhasználhatjuk továbbá, hogy az

A

tömegszámú atommag sugara

\begin{matrix} r \approx r_{0} \cdot \sqrt[3]{A}, \end{matrix}

(4)

ahol

r_{0}

a hidrogén atommagjának, a protonnak a sugara,

10^{- 15}

m nagyságrendű.
A

Z

rendszámú atommag elektrosztatikus terében tartózkodó elektron potenciális energiája a mag sugaránál

\begin{matrix} E_{p o t} = \frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0} r} . \end{matrix}

(5)

Az elektron akkor nem szökik ki a magból, ha

\begin{matrix} E_{k i n} < E_{p o t} . \end{matrix}

(6)

Felhasználva, hogy a transzurán elemekre

A / Z \approx 2,55

, a fenti összefüggésekből

\begin{matrix} \sqrt[]{m_{0}^{2} c^{4} + \frac{ℏ^{2} c^{2}}{r_{0}^{2} \cdot (2,5 Z)^{2 / 3}}} - m_{0} c^{2} < \frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0} r_{0} (2,5 Z)^{1 / 3}} \end{matrix}

(7)

adódik, ami numerikusan megoldható:

\begin{matrix} Z > 134. \end{matrix}

Veres Gábor (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn. IV. o. t.)

Megjegyzés. A feladatban szereplő körülmények között

p c ≫ m_{0} c^{2}

, tehát (1) helyett számolhatunk az

E_{k i n} \approx p c

közelítő képlettel. Ekkor (7) lényegesen leegyszerűsödik:

\begin{matrix} \frac{ℏ c}{r} < \frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0} \cdot r}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} Z > \frac{2 ε_{0} h c}{e^{2}} = 137. \end{matrix}

A fenti kifejezésben szereplő

\frac{e^{2}}{2 ε_{0} h c} = 1 / 137

mennyiséget finomszerkezeti állandónak nevezik és fontos szerepet játszik az atomfizikában.