Kezdőlap


Feladat:	2738. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fábián László
Füzet:	1994/február, 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb tehetetlenségi nyomaték, Forgási energia, Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/május: 2738. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúd és a végén lévő test egyetlen merev testként forog a csukló körül. Először kiszámítjuk a szögsebességet és a szöggyorsulást.
A rendszer tehetetlenségi nyomatéka a csuklóban lévő végpontra vonatkoztatva: $Θ = \frac{1}{3} m l^{2} + m l^{2} = \frac{4}{3} m l^{2}$ . A súlyból származó forgatónyomaték nagysága:

\begin{matrix} M = m g \frac{l}{2} cos α + m g l cos α = \frac{3}{2} m g l cos α . \end{matrix}

A szöggyorsulás

\begin{matrix} β = \frac{M}{Θ} = \frac{9}{8} \frac{g cos α}{l} . \end{matrix}

A szögsebességet az energiamegmaradás törvényéből kaphatjuk meg:

\begin{matrix} m g \frac{l}{2} sin α + m g l sin α = \frac{1}{2} Θ ω^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{9}{4} \frac{g sin α}{l} . \end{matrix}

A csuklótól

l

távolságra lévő pontszerű test tangenciális (érintőleges) gyorsulása

\begin{matrix} a_{t} = β l = \frac{9}{8} g cos α, \end{matrix}

centripetális gyorsulása

\begin{matrix} a_{c p} = l ω^{2} = \frac{9}{4} g sin α . \end{matrix}

A centripetális gyorsulást a súlyerő és a rúd által a testre kifejtett erő rúd irányú összetevői hozzák létre:

\begin{matrix} m a_{c p} = \frac{9}{4} m g sin α = F_{r} - m g sin α, \end{matrix}

amiből

F_{r} = \frac{13}{4} m g sin α

. Ennek

(- 1)

-szeresével húzza a test a rudat a rúd irányában.
A tangenciális gyorsulást a nehézségi erő és a rúd által a testre kifejtett erő rúdra merőleges összetevői okozzák:

\begin{matrix} m a_{t} = \frac{9}{4} m g cos α = m g cos α + F_{t}, \end{matrix}

amiből

F_{t} = \frac{1}{8} m g cos α

. Ennek

(- 1)

-szeresével húzza (vissza) a test a rudat a rúdra merőlegesen. A test által a rúdra kifejtett erő nagysága

\begin{matrix} F = \sqrt[]{F_{r}^{2} + F_{t}^{2}} = \sqrt[]{\frac{169}{16} m^{2} g^{2} sin^{2} α + \frac{1}{64} m^{2} g^{2} cos^{2} α} = \frac{m g}{8} \sqrt[]{1 + 675 sin^{2} α}, \end{matrix}

a rúddal bezárt szögének tangense

\begin{matrix} tg φ = \frac{F_{t}}{F_{r}} = \frac{1}{26} ctg α \end{matrix}

.
A test által a rúdra kifejtett erőnek a rúddal párhuzamos és a rúdra merőleges összetevői:

- F_{r}

és

- F_{t}

F_{r}

mindig a csukló irányába mutat, a test tehát mindig a csuklótól húzza el a rudat.

- F_{t}

a nehézségi erőnek a rúdra merőleges összetevőjével ellentétes irányú, tehát

0 < α < 90^{\circ}

esetén a test akadályozza a rúd forgását.

Fábián László (Dombóvár, Illyés Gyula Gimn., III. o. t.)