Kezdőlap


Feladat:	2731. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Veres Gábor
Füzet:	1994/május, 273. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó energia, Görbületi nyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/április: 2731. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás Tekintsük a víz és az üveg közötti $φ$ illeszkedési szöget nullának, vagyis tételezzük fel, hogy a víz tökéletesen nedvesíti az üveget (gondosan zsírtalanított üvegre ez jó közelítés).
Az $R$ sugarú, $h$ vastagságú ,,vízpogácsa'' jó közelítéssel hengernek tekinthető, melynek térfogata:

\begin{matrix} V = R^{2} π \cdot h . \end{matrix}

Húzzuk szét a két üveglapot egy kicsitny

Δ h

távolsággal és alkalmazzuk a munkatételt! Az általunk kifejtett

F

erő munkája:

\begin{matrix} W = F \cdot Δ h . \end{matrix}

Másrészt a rendszer energiájának megváltozása az egymással érintkező üveg-víz, illetve üveg-levegő felületek nagyságából számítható ki:

\begin{matrix} Δ E = 2 \cdot {R^{2} π - {(R - Δ R)}^{2} π} \cdot (σ_{ü-l} - σ_{ü-v}) . \end{matrix}

A vízpogácsa

R

sugarának

Δ R

mértékű csökkenését a víztérfogat állandósága adja meg:

\begin{matrix} R^{2} π h = {(R - Δ R)}^{2} π (h + Δ h), \end{matrix}

ahonnan (a másodrendűen kicsiny tagokat elhagyva):

\begin{matrix} Δ R = \frac{R}{2 h} Δ h . \end{matrix}

A munkatétel szerint

W = Δ E

, ahonnal a fentebbi összefüggések felhasználásával:

\begin{matrix} F \cdot Δ h = 2 \cdot (2 R π Δ R) \cdot σ = \frac{2 R^{2} π σ}{h} Δ h, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} F = \frac{2 R^{2} π}{h} σ \end{matrix}

adódik, akol

σ = σ_{ü-l} - σ_{ü-l}

. A feltételezett tökéletes nedvesítés miatt

\begin{matrix} \frac{σ_{ü-l} - σ_{ü-v}}{σ_{v-l}} = cos φ = 1, \end{matrix}

tehát

σ_{ü-l} - σ_{ü-v} = σ_{v-l}

; ez a víznek a levegőre vonatkoztatott (a fügvénytáblázatban is megtalálható

7,29 \cdot 10^{- 2} N / m

nagyságú) felületi feszültsége.
A feladat numerikus adataival

F \approx 82 N

, tehát ekkora erővel lehet az adott távolságra lévő két üveglapot széthúzni.

Veres Gábor (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás A vízben a nyomás a

Δ p = p_{g}

görbületi nyomással kisebb, mint a külső légnyomás. A vízpogácsa felületének teljes görbülete két egymásra merőleges keresztmetszet határgörbéjének görbületéből számítható ki. (lásd az ábrát). Ezek a határgörbék:

r = h / 2

sugarú félkör (a tökéletes nedvesítés miatt), illetve

R

sugarú kör. A görbületi nyomás tehát

(h < < R)

miatt

\begin{matrix} p_{g} = σ (\frac{2}{h} - \frac{1}{R}) \approx σ \frac{2}{h} . \end{matrix}

(A gravitáció s vele együtt a hidrosztatikai nyomásváltozás

h

kicsiny volta miatt elhanyagolható).
A nyomáskülönbség miatt az

R

sugarú körlapon ható eredő erő:

\begin{matrix} F = R^{2} π \cdot Δ p = \frac{2 R^{2} π σ}{h} . \end{matrix}

(G. P.)