Kezdőlap


Feladat:	2712. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kovács Baldvin
Füzet:	1993/december, 522 - 523. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb körfolyamatok, p arányos V-vel, Tágulási munka, Egyéb hőerőgép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/február: 2712. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gáz által az ábra szerinti körfolyamatban végzett hasznos munka

\begin{matrix} W_{h} = (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{1}) . \end{matrix}

Legyen az egyenes meredeksége a. Ekkor

p_{1} = a V_{1}

és

p_{2} = a V_{2},

továbbá

\begin{matrix} W_{h} = a {(V_{2} - V_{1})}^{2} = a V_{2}^{2} - 2 a V_{1} V_{2} + a V_{1}^{2} . \end{matrix}

Az állapotegyenletből

\begin{matrix} a V_{1}^{2} = N k T_{1}, \end{matrix}

hasonlóan

\begin{matrix} a V_{2}^{2} = N k T_{2} . \end{matrix}

Összeszorozva a fenti két egyenletet azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{2} V_{1}^{2} V_{2}^{2} & = {(N k)}^{2} T_{1} T_{2}, \\ a V_{1} V_{2} & = N k \sqrt[]{T_{1} T_{2}}, \end{matrix}

tehát a

B

és

D

pontokhoz tartozó

T_{B}

és

T_{D}

hőmérsékletekre

T_{B} = T_{D} = = \sqrt[]{T_{1} T_{2}},

mivel

p_{1} V_{2} = p_{2} V_{1} = a V_{1} V_{2} .

A téglalap területe (a gáz által végzett hasznos munka)

\begin{matrix} W_{h} & = a V_{2}^{2} - 2 a V_{1} V_{2} + a V_{1}^{2} = N k T_{2} - 2 N k \sqrt[]{T_{1} T_{2}} + N k T_{1} = \\ = N k (T_{2} - 2 \sqrt[]{T_{1} T_{2}} + T_{1}) = N k {(\sqrt[]{T_{2}} - \sqrt[]{T_{1}})}^{2} . \end{matrix}

Látható, hogy ez a mennyiség független az

a

meredekségétől, csak a hőmérsékletek függvénye.
A hatásfok kiszámításához előbb meghatározzuk a gáz által a körfolyamat során felvett hőt. Az (1)-es és a (2)-es folyamatokban hőfelvétel, a (3)-asban és a (4)-esben hőleadás történik.

\begin{matrix} Q_{fel} = Q_{1} + Q_{2}, \\ Q_{1} = c_{v} \cdot n \cdot (T_{B} - T_{1}) = c_{v} \cdot n \cdot (\sqrt[]{T_{1} T_{2}} - T_{1}) = \frac{f}{2} n R (\sqrt[]{T_{1} T_{2}} - T_{1}), \\ Q_{2} = c_{p} \cdot n \cdot (T_{2} - T_{B}) = c_{p} \cdot n \cdot (T_{2} - \sqrt[]{T_{1} T_{2}}) = \frac{f + 2}{2} n R (T_{2} - \sqrt[]{T_{1} T_{2}}), \end{matrix}

ahol

c_{v} = \frac{f}{2} R, c_{p} = \frac{f + 2}{2} R

az állandó térfogaton, ill. nyomáson vett mólhő,

n

a mólok száma,

f

pedig a szabadsági fokok száma.

\begin{matrix} Q_{fel} = Q_{1} + Q_{2} = \frac{f}{2} n R (\sqrt[]{T_{1} T_{2}} - T_{1}) + \frac{f + 2}{2} n R (T_{2} - \sqrt[]{T_{1} T_{2}}) . \end{matrix}

Mivel a gáz egyatomos

(f = 3)

és mólnyi mennyiségű

(n R = N k)

\begin{matrix} Q_{fel} = N k (\frac{3}{2} (T_{2} - T_{1}) + T_{2} - \sqrt[]{T_{1} T_{2}}) . \end{matrix}

A körfolyamat hatásfoka

\begin{matrix} η = \frac{W_{h}}{Q_{fel}} = \frac{N k {({\sqrt[]{T}}_{2} - {\sqrt[]{T}}_{1})}^{2}}{N k (\frac{3}{2} (T_{2} - T_{1}) + T_{2} - \sqrt[]{T_{1} T_{2}})} = \frac{2 ({\sqrt[]{T}}_{2} - {\sqrt[]{T}}_{1})}{5 {\sqrt[]{T}}_{2} + 3 {\sqrt[]{T}}_{1}} . \end{matrix}

Kovács Baldvin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. I. o. t.)