Kezdőlap


Feladat:	2690. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katz Sándor , Tichler Krisztián
Füzet:	1993/március, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb Gauss-törvény, Gömbkondenzátor, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/november: 2690. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először határozzuk meg a töltésrendszer által keltett elektrosztatikus mező térerősségét a hely függvényében! A mező gömbszimmetrikus, ezért a térerősség nagysága csak a középponttól mért $r$ távolságtól függ.
A legkisebb gömb belsejében a térerősség nyilván nulla, a belső és a középső gömb között pedig

\begin{matrix} E (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q_{0}}{r^{2}} (r_{0} < r < r_{1}) . \end{matrix}

A belső két gömb össztöltése nulla, ezért Gauss törvénye szerint

\begin{matrix} E (r) \equiv 0 (r_{1} < r < r_{2}) . \end{matrix}

A külső gömbön kívül

\begin{matrix} E (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q_{2}}{r^{2}} (r > r_{2}) . \end{matrix}

a) Az eddigiekből (lásd az ábrát) látszik, hogy a belső két gömb gömbkondenzátort alkot, amelynek kapacitása

\begin{matrix} C_{1} = 4 π ε_{0} \frac{r_{0} r_{1}}{r_{1} - r_{0}}, \end{matrix}

energiája pedig (a

Q = | Q_{0} | = | Q_{1} | = | Q_{2} |

jelölés alkalmazásával)

\begin{matrix} W_{1} = \frac{Q^{2}}{2 C_{1}} = \frac{Q^{2}}{8 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{0}} - \frac{1}{r_{1}}) . \end{matrix}

A külső gömb kapacitása

\begin{matrix} C_{2} = 4 π ε_{0} \cdot r_{2}, \end{matrix}

s így az energiája

\begin{matrix} W_{2} = \frac{Q^{2}}{2 C_{2}} = \frac{Q^{2}}{8 π ε_{0}} \cdot \frac{1}{r_{2}} . \end{matrix}

A töltésrendszer teljes energiája

\begin{matrix} W = W_{1} + W_{2} = \frac{Q^{2}}{8 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{0}} - \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}}) = 1,71 \cdot 10^{- 4} J \end{matrix}

b) A két belső gömb között a feszültség:

\begin{matrix} U_{1,0} = \frac{Q_{0}}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{0}} - \frac{1}{r_{1}}), \end{matrix}

a külső gömb potenciálja (végtelen távoli ponthoz viszonyított feszültsége)

\begin{matrix} U_{2} = \frac{Q_{2}}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{1}{r_{2}} . \end{matrix}

A belső gömb potenciálja tehát:

\begin{matrix} U_{0} = U_{2} + U_{1,0} = \frac{Q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{0}} - \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}) = 15 300 V . \end{matrix}

Katz Sándor (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., IV: o. t.) és
Tichler Krisztián (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján