Kezdőlap


Feladat:	2658. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fábián László
Füzet:	1993/január, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlypont (tömegközéppont) meghatározása, Szilárd testek hőtágulása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/május: 2658. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk a négyzet oldalát egységnyinek, és jelöljük a kivágott kisebb négyzet oldalhosszát $x$ -szel! Az L alakú lemez két téglalapra és egy négyzetre bontható. Mivel a téglalapok közös tömegközéppontja $(B)$ és a kis négyzet tömegközéppontja $(A)$ az eredeti négyzet $C D$ átlójára esik, az L alakú lemez tömegközéppontja csak úgy eshet a lemez peremére, ha a $T$ pontba kerül.
Kihasználjuk még, hogy a homogén tömegeloszlású lemezek tömege arányos a területükkel. A feladat feltételei szerint ha az $A$ pontba egy $m_{A} = {(1 - x)}^{2}$ tömegű, a $B$ pontba pedig egy $m_{B} = 2 (1 - x) x$ tömegű testet helyezünk, a két test közös tömegközéppontja a $T$ pontba kell kerüljön.

Mivel

\begin{matrix} A B = \frac{1}{2} O_{1} O_{2} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} (\frac{1 - x}{2} + \frac{x}{2}) \frac{\sqrt[]{2}}{4} és \\ A T = \frac{\sqrt[]{2}}{2} (1 - x), \end{matrix}

a tömegközéppontra jellemző

\begin{matrix} m_{A} \cdot A T = m_{B} \cdot T B \end{matrix}

összefüggés szerint fennáll

\begin{matrix} {(1 - x)}^{2} (1 - x) \frac{\sqrt[]{2}}{2} = 2 (1 - x) x (\frac{\sqrt[]{2}}{4} - (1 - x) \frac{\sqrt[]{2}}{2}), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} + x - 1 = 0. \end{matrix}

Ennek az egyenletnek fizikailag értelmezhető megoldása

\begin{matrix} x = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} \approx 0,618 = 61, 8 % . \end{matrix}

Melegítés hatására a tömegközéppont helyzete a lemezdarabhoz képest nem változik meg. Ha ugyanis gondolatban visszahelyezzük a kivágott négyzetet, s azt is a többi résszel együtt melegítjük, mindegyik darab arányosan növekszik, s így a hőtágulás hatására megnövekedett méretű L alakú lemez kérdéses oldalainak aránya továbbra is

0, 618 m a r a d . Fábián László (D o m b ó v á r, I l l y é s G y u l a G i m n ., I I . o . t .)