Kezdőlap


Feladat:	2645. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter , Stőhr Lóránt , Varga János
Füzet:	1992/december, 469 - 471. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontszerű töltés térerőssége, Gömbkondenzátor, Felületi töltéssűrűség, Görbületi nyomás, Felületi feszültségből származó energia, Hidrosztatikai nyomás, Becslési feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/március: 2645. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a higanycsepp a súlytalanság állapotában van, alakja gömb. Ha töltéseket viszünk a higanycseppre, ezek a töltések a felületen fognak elhelyezkedni, lévén a higany elektromos vezető. Az egymást taszító töltések a felületet igyekeznek növelni (ez csökkenti a belső nyomást), a felületi feszültség pedig igyekszik összehúzni a felületet (ez növeli a belső nyomást). Megfelelő nagyságú töltést juttatva a higanyra a kétféle hatás éppen kiejti egymást, ilyenkor a csepp belsejében a nyomás egyenlő lesz a külső légnyomással.
Egy $R$ sugarú, $Q$ töltésű vezető gömb elektrosztatikus energiája

\begin{matrix} E_{1} (R) = \frac{1}{2} \frac{k Q^{2}}{R}, \end{matrix}

(1)

hiszen a gömbkondenzátor kapacitása

C = R / k

(ahol

k = 1 / (4 π ϵ_{0})

Coulomb-féle állandó) és egy kondenzátor energiája

E_{1} = Q^{2} / (2 C) .

Ugyanakkor a felületi feszültségből származó felületi energia

\begin{matrix} E_{2} (R) = 4 R^{2} π \cdot σ, \end{matrix}

(2)

ahol

σ = 4,91 \cdot 10^{- 2} J / m^{2}

a higanynak a levegőre vonatkoztatott felületi feszültsége. A csepp ‐ számunkra érdekes ‐ teljes energiája:

E = E_{1} + E_{2} .

Növeljük meg gondolatban a csepp sugarát egy kicsiny

Δ R

értékkel! Ekkor

E_{1}

lecsökken,

E_{2}

pedig megnő, a rendszer teljes energiájának változása a

\begin{matrix} W = (p_{belső} - p_{külső}) \cdot Δ V \end{matrix}

munkavégzéssel egyenlő. Mivel azonban a külső és a belső nyomás megegyezik,

W = 0,

a rendszer energiája nem változik meg:

\begin{matrix} E_{1} (R + Δ R) + E_{2} (R + Δ R) = E_{1} (R) + E_{2} (R) . \end{matrix}

Behelyettesítve (1) és (2) megfelelő alakját és kihasználva, hogy

Δ R ≪ R,

\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{K Q^{2}}{R^{2}} Δ R = 8 π R \cdot σ Δ R \end{matrix}

(3)

összefüggés adódik, ahonnan az

e

töltésű elektronok

N

száma:

\begin{matrix} N = \frac{4 R}{e} \sqrt[]{\frac{π \cdot R σ}{k}} = 9 \cdot 10^{9} . \end{matrix}

Stőhr Lóránt (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.) és
Varga János (Pécs, Leöwey K. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. A

σ

felületi feszültség hatására a csepp belsejében a nyomás

\begin{matrix} Δ p_{1} = \frac{2 σ}{R} \end{matrix}

értékkel növekszik meg. Másrészt a

Q

töltésű cseppek felületének közelében az elektromos térerősség

K Q / R^{2}

nagyságú, és ezért az egységnyi felületen elhelyezkedő

Δ Q = Q / (4 π R^{2})

töltésre

\begin{matrix} Δ p_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{K Q}{R^{2}} \cdot \frac{Q}{4 π R^{2}} \end{matrix}

kifelé irányuló nyomás hat. (A fenti képletben szereplő 1/2-es tényező azért került oda, mert a gömb belsejében nincsen elektromos mező!) A kétféle nyomás egyenlőségéből az I. megoldásbeli (3) összefüggést kapjuk, amelyből a csepp töltése, illetve az elektronok száma már könnyen meghatározható.
(Gnädig Péter)

Megjegyzések 1. A csepp töltése

Q = 1,4 \cdot 10^{- 9}

Cb, kapacitása pedig

C = 0,2

pF, így a feltöltés egy

U = Q / C

= 7000 voltos feszültségforrással oldható meg.
2. A cseppben az elektromos, illetve a felületi erőkból származó nyomás

Δ p = 2 σ / R = 50

Pa, ez kb. 2000-szer kisebb, mint a légköri nyomás. Földi körülmények között a gravitáció hatására a csepp belapul, alakja eltér a gömbtől. Egy 4 mm-es higanyoszlop nyomása kb. 200-szor kisebb a légköri nyomásnál, a lapultságból adódó effektus tehát semmiképpen nem hanyagolható el.