Kezdőlap


Feladat:	2631. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kun Mariann , Takács Viktor
Füzet:	1992/november, 428 - 430. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Tapadó súrlódás, Trigonometria, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/február: 2631. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltételezhetjük, hogy a vonalzó homogén, tehát a tömegközéppontja a hosszának felénél helyezkedik el. Nagyon lassú mozgásnál a test $-$ jó közelítéssel $-$ egyensúlyi állapotban levőnek tekinthető, emiatt minden helyzetében fenn kell álljon a rá ható erők és azok forgatónyomatékának egyensúlya.

Az ábra jelöléseivel

\begin{matrix} F + G + K + F_{S} = 0, \end{matrix}

ahol

F_{S}

a súrlódási erő, továbbá a nyomatékok (melyeket célszerű az

A

pontra vonatkoztatni):

\begin{matrix} M_{F}^{(A)} + M_{G}^{(A)} = 0. \end{matrix}

Az erők egyensúlyának feltétele a vízszintes, illetve függőleges komponensekkel kifejezve:

\begin{matrix} F sin α & = F_{S}, & (1) \\ m g & = K + F cos α, & (2) \end{matrix}

a forgatónyomatéki egyenlet pedig

\begin{matrix} m g \frac{l}{2} cos α = F \cdot l . \end{matrix}

(3)

Ezekből az összefüggésekből

K

és

F_{S}

kifejezhető, s a tapadás

F_{S} \leq μ \cdot K

feltétele

\begin{matrix} μ \geq \frac{sin α \cdot cos α}{1 + sin^{2} α} (0^{\circ} \leq α \leq 90^{\circ}) \end{matrix}

(4)

alakban fogalmazható meg. Látjuk, hogy a tapadási súrlódási tényező legkisebb megengedett értéke a (4) jobb oldalán szereplő

f (α)

függvény maximuma. Némi átalakítással

\begin{matrix} f (α) = \frac{sin α \cdot cos α}{(sin^{2} α + cos^{2} α) + sin^{2} α} = \frac{1}{2 tgα+ctgα}, \end{matrix}

s ez a függvény akkor maximális, ha a nevező minimális. Ez utóbbira viszont (a számtani és a mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség alkalmazásával)

\begin{matrix} 2 tgα+ctgα⩾2\sqrt[]{2 tgα\cdot ctgα}=2\sqrt[]{2}, \end{matrix}

ahonnan (4) szerint a súrlódási együtthatóra

\begin{matrix} μ \geq \frac{1}{2 \sqrt[]{2}} \approx 0, 35 \end{matrix}

adódik.

Kun Mariann (Szolnok, Széchenyi I. Gimn. III. o. t.) és
Takács Viktor (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az

f (α)

függvény szélsőértéke más módszerrel (pl. differenciálszámítással, számítógépes ábrázolással, egy másodfokú egyenlet megoldhatósági feltételére való visszavezetéssel) is meghatározható.
2. Sokan elkövették azt a hibát, hogy a

K

nyomóerőt

m g / 2

-vel helyettesítették, és az

F_{S} = F \cdot sin α = (m g / 4) \cdot sin (2 α)

függvény maximumát keresték meg. Ez a számítás nem veszi figyelembe, hogy az emelés hatására

K

fokozatosan változik. A helyes számítás a megcsúszás legkritikusabb helyzetére

α = arctg(1/\sqrt[]{2})\approx35^{\circ}

értéket ad, míg a

sin (2 α)

függvény a maximumát

α = 45^{\circ}

-nál éri el.