Kezdőlap


Feladat:	2623. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gefferth András
Füzet:	1992/október, 325 - 326. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Dióda, Munkatétel, Egyéb statisztikus fizika, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/január: 2623. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kondenzátor fegyverzetein kezdetben felhalmozott töltés $Q_{0} = N_{0} \cdot e$ , ahol $e$ az elektron töltése. Ha a kondenzátort kisütjük, akkor az $U = \frac{Q}{C} = \frac{N e}{C}$ képletből látszik, hogy a kondenzátor feszültsége egyenes arányban csökken a fegyverzetein levő elektronok számával, vagyis az egymás után kilépő elektronok egyre kisebb feszültségeken gyorsulnak az anód felé. Az első elektronok $U_{0} = U_{max}$ feszültségre gyorsulnak, így

\begin{matrix} e U_{0} = \frac{1}{2} m v_{max}^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} v_{max} = \sqrt[]{\frac{2 e U_{0}}{m}} = \sqrt[]{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{- 19} \cdot 12 \cdot 10^{3}}{9,1 \cdot 10^{- 31}}} \frac{m}{s} \approx 6,5 \cdot 10^{7} \frac{m}{s} . \end{matrix}

Az átlagsebesség

(v)

korlátai tehát:

0 < v < v_{max}

.
A feladat megfogalmazása kissé pontatlan, hiszen az átlagos sebességet többféleképpen értelmezhetjük.

A megoldás: Ha eltekintünk a rendszer veszteségeitől, akkor az energiamegmaradás alapján állíthatjuk, hogy a kondenzátoron kezdetben tárolt energia az összes

(N_{0} db)

elektron gyorsítására használódik fel, vagyis

\begin{matrix} E (kondenzátor) = E (elektronok mozgási energiája), \end{matrix}

azaz

\frac{1}{2}

Q_{0} U_{0}

\frac{1}{2}

N_{0} m v^{2}

. Innen

v = \sqrt[]{\frac{e U_{0}}{m}}

\frac{1}{\sqrt[]{2}} v_{max}

4,6

\cdot

10^{7}

\frac{m}{s}

.
Ebben az értelmezésben az átlagos sebesség az ún. négyzetes átlagot, a sebességnégyzetek átlagának négyzetgyökét jelenti.

B megoldás: Ha az átlagos sebességet számtani középértékként fogjuk fel, akkor a feladat a következő: az összes elektronhoz tartozó sebességértékeket összeadogatjuk, majd elosztjuk az elektronok számával. Legyen

d N

azon elektronok száma, amelyek

U

feszültségen gyorsulnak, akkor ezek sebessége az anódnál:

v = \sqrt[]{\frac{2 e U}{m}}

.
Ha a

v \cdot d N

szorzatokat felösszegezzük (integráljuk), és elosztjuk

N_{0}

-lal, akkor a fenti számtani középsebességet

(v')

kapjuk:

\begin{matrix} v' = \frac{\int_{0}^{N_{0}} v d N}{N_{0}} = \frac{\int_{0}^{U_{0}} \sqrt[]{\frac{2 e U}{m}} \cdot \frac{C}{e} d U}{\frac{C}{e} U_{0}} = \frac{2}{3} \sqrt[]{\frac{2 e U_{0}}{m}} = \frac{2}{3} v_{max} = 4,33 \cdot 10^{7} \frac{m}{s} . \end{matrix}

Gefferth András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.) megoldása alapján