Kezdőlap


Feladat:	2605. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Veres Gábor
Füzet:	1992/április, 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/november: 2605. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az elektrosztatikus erőtér konzervatív és a vizsgált rendszer zárt, így felhasználhatjuk az energiamegmaradás törvényét. Kezdetben a rendszer összes energiája $E = 6 k Q^{2} / d$ , hiszen minden részecske párhoz $k Q^{2} / d$ elektrosztatikus energia tartozik és a tetraédernek hat éle van. (Ezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy összeszámoljuk: mennyi munkát kell végezzünk, ha a nagyon távoli töltéseket a tetraéder csúcsaiba akarjuk bevinni. Az első töltést munkavégzés nélkül odatehetjük, a másodikat $k Q^{2} / d$ , a harmadikat $2 k Q^{2} / d$ , a negyediket pedig $3 k Q^{2} / d$ munkával. Mivel összesen $6 k Q^{2} / d$ munkát végeztünk, ennyi a rendszer energiája.)
Szétrepüléskor az $E$ energia egy része mozgási energiává alakul. Szimmetria-okokból nyilvánvaló, hogy az alakzat minden pillanatban tetraéder marad. Amikor a tetraéder pillanatnyi oldaléle $D$ és a részecskék sebessége $v$ , az energiamegmaradás tétele szerint

\begin{matrix} 6 \frac{k Q^{2}}{d} = 6 \frac{k Q^{2}}{D} + 4 \cdot \frac{1}{2} m v^{2} . \end{matrix}

A részecskék kezdetben

3 h / 4

távol voltak a tömegközépponttól, ahol

h

az eredeti tetraéder magassága. Ez a távolság

h

út megtétele után

7 h / 4

lesz, emiatt a tetraéder oldala

D = 7 d / 3

. A sebesség ekkor a fenti egyenlet alapján

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{\frac{12 k Q^{2}}{7 d}} . \end{matrix}

A töltések a mozgás során mindvégig gyorsulnak, de a távolságuk növekedtével a gyorsulásuk egyre csökken. Mivel a potenciális energia (azonos előjelű töltések esetén) nem lehet negatív, a részecskék sebességének van felső korlátja:

\begin{matrix} v < v_{m a x} = \sqrt[]{\frac{3 k Q^{2}}{d}} = 1,32 v_{1} . \end{matrix}

Ezt a felső korlátot a részecskék sebessége tetszőlegesen meg is közelíti, ha a távolságuk elegendően nagy:

\begin{matrix} {lim}_{}^{}_{D \to \infty}^{} v (D) = v_{m a x} . \end{matrix}

Veres Gábor (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A számítás során elhanyagoltuk a gravitációs, a mozgó töltések által keltett mágneses, valamint a változó mágneses mező következtében kialakuló nem-sztatikus elektromos erőket. Az utóbbi kettő elhanyagolása akkor jogos, ha a részecskék sebessége mindvégig sokkal kisebb, mint a fénysebesség.