Kezdőlap


Feladat:	2596. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Zénó , Szakáll Miklós , Varjú Katalin , Veres Gábor
Füzet:	1992/március, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/október: 2596. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a nyújtatlan rugó hosszát $L$ -lel, az egyensúlyi állapothoz tartozó hosszúságot $L_{0}$ -lal. $y = A sin (ω t + φ)$ és $v = A ω cos (ω t + φ)$ , ezért

\begin{matrix} {(\frac{y}{A})}^{2} + {(\frac{v}{A ω})}^{2} = sin^{2} (ω t + φ) + cos^{2} (ω t + φ) = 1, \end{matrix}

ahol

y

a test kitérése az egyensúlyi helyzettől. Ezt a konkrét példára alkalmazva

(y_{i} = L_{i} - L_{0})

a következőket kapjuk:

\begin{matrix} A^{2} = {(L_{1} - L_{0})}^{2} + {(\frac{v_{1}}{ω})}^{2}, \\ ω^{2} = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{{(L_{2} - L_{0})}^{2} - {(L_{1} - L_{0})}^{2}}, \\ L_{0} = \frac{(v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) (L_{3}^{2} - L_{1}^{2}) + (v_{1}^{2} - v_{3}^{2}) (L_{1}^{2} - L_{2}^{2})}{2 ((v_{1}^{2} - v_{3}^{2}) (L_{1} - L_{2}) + (L_{3} - L_{1}) (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}))} . \end{matrix}

Felhasználva még, hogy

L = L_{0} - m g / D

, végül

L = 0,3

m és

D = 100

N/m adódik.

Varjú Katalin (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t) megoldása alapján.

II. megoldás. Írjuk fel az energiamegmaradás tételét a rendszerre. A potenciális energia nulla szintjét a rugó nyújtatlan végéhez rögzítjük. Ekkor az előző jelöléseket használva:

\begin{matrix} E = \frac{1}{2} m v_{i}^{2} + \frac{1}{2} D {(L_{i} - L)}^{2} - m g (L_{i} - L) . \end{matrix}

Mivel minden erőhatás konzervatív, ezért

E

időben állandó. A három időpillanatra felírva az energiákat,

L

-t kifejezhetjük:

\begin{matrix} L = \frac{\frac{1}{2} m (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) + \frac{1}{2} D (L_{1}^{2} - L_{2}^{2}) - m g (L_{1} - L_{2})}{D (L_{1} - L_{2})} . \end{matrix}

Két ilyen kifejezést összehasonlítva

D

meghatározható:

\begin{matrix} D = \frac{m (\frac{v_{1}^{2} - v_{3}^{2}}{L_{1} - L_{3}} - \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{L_{1} - L_{2}})}{L_{2} - L_{3}} = 100 \frac{N}{m}. \end{matrix}

Visszahelyettesítve a terheletlen rugó hosszára

L = 0,3

m adódik.

Szakáll Miklós (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)