Kezdőlap


Feladat:	2579. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1992/január, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Doppler-hatás (Doppler-effektus), Kettőscsillagok, Egyenletes körmozgás, Tömegközéppont mozgása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/május: 2579. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először foglalkozzunk azzal az állítással, amely szerint a hullámhosszváltozás a mérés pillanatában a legnagyobb. A csillagok tömegének és távolságának meghatározásához keringési sebességükre van szükségünk. Célszerű ezért úgy értelmeznünk az állítást, hogy a csillagok kerületi sebességei éppen a Föld felé, illetve azzal ellentétes irányba mutatnak (ábra).

Ekkor a hullámhosszváltozásnak valóban maximuma, illetve minimuma van, minthogy előtte és utána az egyik, illetve másik csillag kisebb sebességgel közeledik, illetve távolodik a Földhöz képest. Megmutatható azonban, hogy ezek ún. lokális szélsőértékek, mindkettő egyszerre nem lehet abszolút maximum, illetve minimum (lásd a megjegyzést).
Amikor

Δ λ < 0 (> 0)

, akkor a fény hullámhossza csökken (nő), frekvenciája nő (csökken), tehát a fényforrás közeledik (távolodik) az észlelőhöz képest. Minthogy a hullámhossznövekedés nagyobb, mint a hullámhosszcsökkenés

(Δ λ_{2} > | Δ λ_{1} |)

, ezért a kettőscsillag távolodó tagja nagyobb sebességgel távolodik, mint amilyennel a másik közeledik. Ez azt jelenti, hogy a kettőscsillag tömegközéppontja és a Föld távolodik egymástól. Jelöljük ez utóbbi relatív sebességét

u

-val, a csillagok kerületi sebességet

v

-vel. A Doppler-eltolódást leíró összefüggések:

\begin{matrix} \frac{u + v}{c} = \frac{Δ λ_{2}}{λ}, \frac{u + v}{c} = \frac{Δ λ_{1}}{λ} . \end{matrix}

E két egyenletből

\begin{matrix} v = \frac{c}{2} \frac{Δ λ_{2} - Δ λ_{1}}{λ}, \end{matrix}

az adatokkal

v = 18 \frac{km}{s}

(

c

a fény sebessége). A csillagok közös tömegközéppontjuk körül

r

sugarú pályán keringenek,

\begin{matrix} r = \frac{v T}{2 π} = 1,36 \cdot 10^{11} m, \end{matrix}

(

T = 1, 5

év), a csillagok egymástól való távolsága

2 r = 2, 72 \cdot 10^{11}

m. A körmozgáshoz szükséges centripetális erőt a tömegvonzás szolgáltatja:

\begin{matrix} \frac{m v^{2}}{r} = γ \frac{m^{2}}{{(2 r)}^{2}}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} m = \frac{4 v^{2} r}{γ} = 2,64 \cdot 10^{30} kg . \end{matrix}

Megjegyzés. Az egyenletekből kiszámíthatjuk

u

-t is, erre

3

km/s adódik. Ez származhat pl. a Földnek a Nap körüli keringéséből. Biztos, hogy a későbbiekben lesz olyan pillanat, amikor a Föld

18

km/s-nál nagyobb sebességgel közeledik vagy távolodik a kettőscsillaghoz képest, minthogy a Nap körüli keringés sebessége

30

km/s. Ehhez járul még a csillagok kerületi sebessége, a kettő együttesen hozza létre a Doppler-eltolódást. Így lesz nagyobb hullámhossznövekedés vagy -csökkenés.